242
Лекция 30
3.13. Электромагнитные колебания
В электрической цепи, содержащей конденсатор и катушку индуктивности (или проводники, обладающие отличными от нуля ёмкостью и индуктивностью) – колебательном контуре – могут возникать электромагнитные колебания. Если сообщить конденсатору заряд и замкнуть цепь, то конденсатор будет разряжаться через катушку. По катушке будет идти переменный ток, который по закону электромагнитной индукции будет создавать в катушке индуцированное электрическое поле, препятствующее изменению тока. Конденсатор будет разряжаться и перезаряжаться, а ток в цепи расти, убывать и менять направление: заряд конденсатора и ток в цепи будут изменяться периодически, т. е. будут происхо-
дить электромагнитные колебания.
3.13.1. Свободные незатухающие колебания (R = 0)
Схема электрической цепи, в которой происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представлена на РИС. 30.1. Так как сопротивление цепи равно нулю, ток будет изменяться по модулю и направлению, а конденсатор перезаряжаться неограниченно долго – возникнут свободные незатухающие электромагнитные колебания.
Обобщённый закон Ома для контура 12 (1 и 2 – обкладки конденсатора)
Es – ЭДС самоиндукции – единственная ЭДС в этой цепи. Разность потенциалов между обкладками конденсатора
|
по закону электромагнитной индукции |
|
|
|
|
Es L |
dI |
. |
(30.3) |
|
dt |
|
|
|
|
|
По определению силы тока |
I |
dq |
. |
Подставив это выражение, а также (30.2) и |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(30.3) в уравнение (30.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
d q |
0 |
, |
|
|
|
C |
dt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2q |
|
q |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
dt2 |
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний (см. 1.14.2).
Обозначив ω02 LC1 , запишем его в стандартном виде (16.1)
d2q ω2q 0 . dt2 0
Общее решение этого уравнения
A и φ – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий.
Собственная циклическая частота колебательного контура
период свободных незатухающих электромагнитных колебаний
|
Зависимость тока от времени |
|
|
|
I t |
dq |
Aω0 sin ω0t φ . |
|
dt |
|
|
|
Пусть в начальный момент времени заряд конденсатора равен q0, а тока в цепи нет. Подставим начальные условия в общее решение (30.4) и формулу (30.5):
Напряжение на конденсаторе
q t q cosω t, |
|
0 |
0 |
|
|
|
I t qω sinω t. |
|
0 |
0 |
Графики зависимостей q(t) и I(t) при указанных начальных условиях показаны на РИС. 30.2А, Б. Видно, что ток опережает заряд конденсатора (и напряжение на кон-
Энергия электромагнитного поля в колебательном контуре (энергия колебательного контура) складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки:
W |
q |
2 |
|
LI |
2 |
|
q |
2 |
|
LI |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
2 |
|
2C |
|
2 |
где qm, Im – соответственно амплитуды заряда конденсатора и тока в цепи. Студенты доказывают утверждение (30.6) самостоятельно.
244
q q0
–q
а
I
q0ω0
–q0ω0
б
Рис. 30.2
3.13.2. Свободные затухающие колебания
Пусть теперь электрическое сопротивление цепи отлично от нуля (см. схему на РИС. 30.3, содержащую элемент R).
|
|
L |
|
|
|
Обобщённый закон Ома для участка цепи 12: |
|
|
|
|
|
φ1 φ2 |
Es IR . |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
(30.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
Подставим в это уравнение выражения (30.2) и (30.3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
L |
dI |
IR . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 30.3 |
|
Учитывая, что I |
dq , запишем это уравнение как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
R dq |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d q |
|
|
|
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
L dt |
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначим LC1 ω02 , RL 2β , где β – коэффициент затухания; получим уравнение
(16.7)
245
2 |
|
|
dq |
|
|
d q |
2β |
2 |
|
|
2 |
|
ω q 0 |
(30.8) |
dt |
|
dt |
0 |
|
|
|
|
– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (см. 1.14.3). Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко-
эффициентами. Его характеристическое уравнение
Корни этого уравнения
λ1,2 β 
β2
Эти корни могут быть как действительными, так и комплексными. Общее решение дифференциального уравнения (30.8)
|
|
|
|
|
|
q t A1e |
λ t |
A2e |
λ t |
, |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 и A2 – постоянные интегрирования. |
|
|
|
|
|
1. Сильное затухание (β ≥ ω0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корни характеристического уравнения (30.9) |
– |
q |
действительные. Общее решение дифференци- |
|
ального уравнения (30.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
t |
|
|
β |
2 |
2 |
t |
|
|
|
|
q t A e |
|
β β |
ω |
A e |
|
β |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– апериодическое решение (разрядка конденсато-
ра). График этого решения представлен на
РИС. 30.4 (q0 – заряд конденсатора при t = 0). 0 t
2. Слабое затухание (β < ω0) |
Рис. 30.4 |
|
Корни характеристического уравнения (30.9) – комплексные. дифференциального уравнения (30.8)
q t A e |
|
β i |
2 |
β |
2 |
|
t |
|
|
β i |
2 |
β |
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
ω |
|
|
ω |
|
|
βt |
|
i |
t |
|
i |
|
0 |
|
|
|
A e |
|
0 |
|
|
|
e |
A e |
ω |
β |
A e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
Обозначим
ω
ω02 β2
–циклическая частота свободных затухающих колебаний. Общее решение удобно представить в виде
q t A e βt cos ωt φ |
, |
(30.10) |
0 |
где A0 и φ – постоянные интегрирования, значения которых определяются из начальных условий.
Период затухающих колебаний
Амплитуда затухающих колебаний
A t A0e βt ;
246
затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания с переменной амплитудой:
q
График функции (30.10) при φ = 0 q
t Acos ωt φ .
показан на РИС. 30.5.
Рис. 30.5
Зависимость тока в цепи от времени
|
|
I t |
dq |
A e |
βt |
βcos ωt φ ωsin ωt φ |
A e |
βt |
β |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
dt |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
cos ωt |
φ |
ω |
|
|
|
|
|
|
A e |
|
|
β |
|
ω sin ωt φ θ ; |
|
|
|
|
sin ωt φ |
βt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
β |
2 |
ω |
|
|
|
|
β |
2 |
ω |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin θ |
|
|
|
|
cos θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgθ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ток отстаёт от напряжения по фазе на |
π θ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введём ещё некоторые характеристики затухающих колебаний. |
|
|
|
Логарифмический декремент затухания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ ln |
A t |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A t T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выразим логарифмический декремент через другие характеристики колебаний:
δ ln |
A e |
βt |
βT |
2πβ |
|
|
|
|
. |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A e |
βt |
e |
βT |
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Время релаксации – время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз:
247
|
t |
|
|
A e |
βt |
|
|
|
|
A |
|
e |
|
|
e |
|
e βτ 1 |
|
A t τ |
0 |
|
|
|
βτ |
, |
A e |
βt |
e |
βτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число колебаний за время релаксации, т. е. число колебаний, за которое их ам-
плитуда уменьшается в e раз,
Отсюда ясен физический смысл логарифмического декремента затухания. Добротность колебательного контура
Эта величина пропорциональна уменьшается в e раз.
Энергия затухающих колебаний
.
за которое их амплитуда
В колебательной системе с затуханием происходит диссипация энергии. Так как электрическое сопротивление цепи отлично от нуля, энергия электромагнитного поля переходит во внутреннюю энергию проводников.
Энергия колебаний пропорциональна квадратам амплитуд всех колеблющихся
2 |
2 |
2 |
~e |
2βt |
. |
|
|
|
величин: W ~qm ~Im ~Um |
|
|
|
|
|
Относительное уменьшение энергии за период |
|
|
|
W |
|
W |
t W t T |
1 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
W t |
|
2βT |
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
При малом затухании (δ << 1) |
|
W |
2δ . Тогда |
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πW
W 
Чем выше добротность колебательной системы, тем медленнее убывает энергия колебаний.
3.13.3. Вынужденные колебания
~ 
E
Рис. 30.6
Теперь включим в колебательный контур источник с переменной ЭДС (РИС. 30.6), изменяющейся по гармоническому закону:
– вынуждающей ЭДС. |
|
Обобщённый закон ома для участка 12: |
|
φ1 φ2 E Es IR . |
(30.11) |
Подставив сюда (30.2) и (30.3), получим
с учётом I
Обозначим,
мет вид
|
|
q |
U0 cosΩt L |
dI |
IR ; |
|
C |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dq |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
d q |
R |
|
U |
|
cosΩt |
, |
|
|
|
dt |
2 |
dt |
|
C |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2q |
R dq |
|
|
|
q |
|
|
U0 |
|
cosΩt . |
|
|
dt2 |
|
LC |
L |
|
|
|
|
L dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
, |
R |
2β , а также |
U0 |
|
LC |
ω0 |
L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d q |
|
2β |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ω q F cosΩt |
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Уравнение (30.11) при-
(30.12)
– дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Далее рассматриваем случай СЛАБОГО ЗАТУХАНИЯ. |
|
|
|
|
Общее решение дифференциального уравнения (30.12): |
|
|
|
q t A e βt cos ωt φ q cos Ωt φ |
. |
(30.13) |
0 |
0 |
0 |
|
|
общее решение ОДУ частное решение НДУ
Общее решение однородного дифференциального уравнения [(30.8) или (30.12) без правой части] быстро затухает, далее мы его учитывать не будем. Найдём коэффициенты q0 и φ0 в частном решении неоднородного уравнения [и убедимся в том, что это решение действительно имеет вид второго слагаемого в выражении
(30.13)].
Подставим в (30.12):
|
q t q0 cos Ωt φ0 , |
|
|
I t |
dq |
Ωq0 sin Ωt φ0 , |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
d2q |
Ω2q |
cos Ωt φ |
; |
|
dt2 |
|
0 |
0 |
|
получим
Ω2q0 cos Ωt φ0 2βΩq0 sin Ωt φ0 ω02q0 cos Ωt φ0 F0 cosΩt .
Преобразуем левую часть этого равенства:
|
q |
ω |
Ω |
cos Ωt φ |
2βΩsin Ωt φ |
q |
|
ω |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2βΩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
Ω |
|
|
|
cos Ωt φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
Ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
ω |
|
|
|
4β |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
Ω |
|
|
4β |
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
φ θ |
|
, |
|
cos θ |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
Ω |
|
|
4β |
Ω cos Ωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgθ |
2βΩ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2 |
Ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
2 |
4β |
Ω |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin Ωt φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin θ
0 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
2 |
|
2 |
2 |
|
q |
|
2 |
|
|
|
θ |
|
F cosΩt |
|
ω |
Ω |
|
4β |
Ω cos Ωt φ |
|
Это равенство должно выполняться при любых t, поэтому
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
F |
, |
q |
|
ω |
Ω |
|
4β Ω |
|
|
|
|
|
φ θ cosΩt. |
|
|
|
|
|
|
cos Ωt |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Отсюда получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
– колебания заряда опережают вынуждающую ЭДС по фазе на θ;
q |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Ω |
2 |
2 |
2 |
Ω |
2 |
|
|
|
ω |
|
|
4β |
|
– амплитуда заряда конденсатора.
Запишем окончательные выражения зависимостей заряда конденсатора и силы тока в цепи от времени:
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Ω |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
Ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
4β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F Ω |
|
|
|
|
|
|
|
I0 – амплитуда силы тока |
|
I t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin Ωt |
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Ω |
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
4β |
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
sin Ωt θ sin θ Ωt cos |
π |
θ Ωt |
|
cos |
|
Ωt θ |
π |
|
, ток отстаёт по |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фазе от заряда конденсатора на |
|
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим
Z U0 I0
– полное сопротивление (импеданс) цепи. (Эта величина вводится по аналогии с законом Ома для однородного участка цепи U = IR: если сопротивление R проводника – это коэффициент пропорциональности между током и напряжением на
