Конспект_ИЭЭ_14

вектор сил, с которыми другие объекты действуют на данную точку). В проекции на оси декартовой системы координат это уравнение представляется в виде трёх дифференциальных уравнений

1.4.4. Центр масс механической системы

Внешние силы – силы, описывающие действие объектов, не входящих в данную

механическую систему, на тела, входящие в неё. Будем обозначать такие силы F e

13.

Внутренние силы – силы, описывающие взаимодействие тел, входящих в данную

Для любой механической системы из III закона Ньютона следует, что сумма внутренних сил равна нулю:

Рассмотрим механическую систему из N материальных точек.

Как найти положение центра масс системы? Из определения центра масс следует

N

где M mi – масса механической системы. В декартовой системе координат

i 1

13 В «живой» лекции лучше использовать обозначения русскими буквами: Fвнеш и т. п.

Если тело (механическая система) центральносимметрично, то его центр масс совпадает с центром симметрии. Если же тело осесимметрично, то центр масс лежит на оси симметрии.

ПРИМЕР

Нахождение центра масс системы двух материальных точек

Две материальные точки массами m1 и m2 находятся на расстоянии l друг от друга (РИС. 3.5). Где находится центр масс системы?

Теорема о движении центра масс: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, к которой приложена сила, равная равнодействующей внешних сил, приложенных к системе,

MaC F e .

Доказательство

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек. Дифференциальное уравнение движения i-ой точки

Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как оно равно сумме всех внутренних сил, описывающих взаимодействие тел, входящих в рас-

сматриваемую систему. Первое слагаемое есть главный вектор внешних сил F e . Преобразуем левую часть равенства (3.3), учитывая, что ri rC ρi (РИС. 3.4):

32

1.4.5. Некоторые силы14

1. Гравитационная сила

Сила, описывающая гравитационное воздействие материальной точки15 массой m1 на материальную точку массы m2, находящуюся на расстоянии r от точки мас-

сой m1 (РИС. 3.6):

ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ

Сила тяжести – гравитационная сила вблизи поверхности Земли

Действительно, пусть материальная точка массы m находится вблизи поверхности Земли, т. е. на расстоянии от центра Земли, равном радиусу R Земли (РИС. 3.7). По закону всемирного тяготения (3.4)

14В данном разделе рассматриваются силы, фигурирующие в задачах I семестра.

15В этой формулировке можно заменить слова «материальная точка» на «тело» с поправкой, что r

– это расстояние между центрами масс тел.

33

вектор g направлен к центру Земли. Центры масс всех тел, падающих свободно (т. е. без каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного) вблизи по-

Упругая деформация – деформация тела, которая полностью исчезает после прекращения взаимодействия, являющегося её причиной. Воздействие деформированного тела на тело, вызвавшее деформацию, описывается силой упругости.

Линейная деформация подчиняется закону Гука:

кость) деформируемого тела. Знак «–» означает, что деформированное тело сопротивляется деформации – пытается восстановить форму.

На РИС. 3.8 представлены разные типы деформируемых тел: А) пружина, Б) нить

Рис. 3.8

(На РИС. 3.8 m – масса груза, 0 – положение недеформированной пружины.)

Сила реакции опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности от неё, а сила натяжения – вдоль натянутой нити от натягивающего её тела.

Вес тела – сила, описывающая действие тела на опору или подвес; по модулю ра-

Природа упругости – в межмолекулярном, т. е. электромагнитном взаимодействии (см. РАЗДЕЛ 0.3), однако, при изучении механики это для нас не имеет значения.

Демонстрация: Динамометры

16 При необходимости проведения вычислений с достаточно высокой точностью следует учиты-

вать, что ускорение свободного падения зависит от географической широты. На широте Москвы g = 9,8156 м/с2.

34

3. Сила сухого трения

Сила трения – составляющая силы взаимодействия соприкасающихся тел, параллельная поверхности их контакта (РИС. 3.9А). Наличие этой составляющей обу-

словлено неупругими деформациями тел.

Мы рассматриваем сухое трение, т. е. обе соприкасающиеся поверхности являются твёрдыми (в смысле агрегатного состояния; вязкое трение рассматривается в

РАЗДЕЛЕ 2.9.2).

Закон сухого трения (закон Кулона):

– максимальное значение модуля силы трения – сила трения скольжения, N – модуль силы реакции опоры, µ – коэффициент трения – безразмерная величина, зависящая от материала и состояния соприкасающихся поверхностей. Направлена же сила трения скольжения всегда против скорости тела относительно опорной поверхности.

РИС. 3.9Б. До тех пор пока F < µN, тело покоится относительно опорной поверхности, а F = Fтр (наклонный участок на графике). При F ≥ µN тело начинает скользить

и Fтр = Fтр max = µN.

Демонстрация: Сила трения Трение также имеет электромагнитную природу.

1.4.6. Кинематические связи

Кинематическая связь – ограничение, накладываемое на движение тела.

1. Координатная связь

Координатная связь – ограничение, накладываемое на координаты точек и их производные при движении тела.

35

2. Нить

При решении многих задач нити полагаются невесомыми и нерастяжимыми.

а) Невесомая нить

Во всех точках нити модуль силы натяжения одинаков:

Применим к этому участку нити теорему о движении центра масс:

1.4.7. План решения задач по динамике17

1.Выбор объекта исследования и его модели: материальная точка, твёрдое тело, механическая система (указать, какие тела в неё входят)

17 Аналогичный план подходит и для решения задач по динамике вращательного движения, в т. ч. с использованием законов сохранения. Различия – в законе, на котором основано решение задачи. Подробное обсуждение этого плана и обучение решению задач проводится на практических занятиях.

Пример решения задачи по динамике рассматривается на СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ.

36

2.Выбор системы отсчёта (в большинстве случаев – лабораторная)

3.Рисунок (или несколько рисунков)

4.Определение воздействующих объектов. Расстановка обозначений на рисунке:

сил, ускорений и т. д.

5.Запись II закона Ньютона (теоремы о движении центра масс) в векторной форме

6.Выбор системы координат (можно вводить разные системы координат для разных тел)

7.Запись закона в проекциях на оси системы координат

8.Подсчёт числа уравнений и числа неизвестных. Запись дополнительных уравнений (другие законы, уравнения связей и т. п.)

9.Решение полученной системы уравнений в общем виде

10.Анализ результата и проверка размерностей18

11.Численный расчёт и оценка его результата

В этом выражении под знаком дифференциала стоит векторная физическая величина, характеризующая инертность и движение тела – импульс материальной

точки

импульса материальной точки равно импульсу силы.

По определению, импульс механической системы равен сумме импульсов тел (материальных точек), входящих в эту систему:

Импульс механической системы равен произведению массы M системы на скорость vC её центра масс:

18 Рекомендуется контролировать размерности в течение всего решения задачи.

37

Доказательство

Исходя из определения импульса механической системы,

Преобразуем выражение теоремы о движении центра масс:

– закон сохранения импульса механической системы: импульс замкнутой си-

стемы остаётся неизменным с течением времени.

На самом деле закон сохранения импульса не выводится, а следует из свойств пространства-времени (см. РАЗДЕЛ 1.1.2).

Более подробно закон сохранения импульса будет рассмотрен в ПАРАГРАФЕ 1.6.

19 Разумеется, в «живой» лекции этот рисунок нужно сделать заново.

38

Лекция 4

1.5. Динамика вращательного движения твёрдого тела

1.5.1. Момент силы

Момент силы20 – векторная (псевдовекторная) величина, характеризующая взаимодействие тел.

1. Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки:

вектор21 момента силы относительно оси всегда направлен вдоль этой оси; направление определяется по правилу правого винта.

Один из способов определения момента произвольно направленной силы относительно оси показан на РИС. 4.2. На этом рисунке изображено трёхмерное твёрдое тело и вектора и линии, лежащие в трёхмерном пространстве. Здесь z – ось, отно-

сительно которой рассчитывается момент силы; k – орт этой оси; A – точка при-

ложения силы F ; плоскость xy – плоскость, проведённая через точку A перпендикулярно оси z; O – точка пересечения плоскости xy с осью z, т. е. ближайшая к точ-

ке приложения силы точка на оси; радиус-вектор r восстановлен из точки O в

Можно пользоваться не этим способом, а напрямую определением (4.1). Тогда r – это радиус-вектор, проведённый из любой точки на оси в точку приложения силы.

20Следует обратить внимание студентов на то, что момент силы, а также момент инерции и момент импульса всегда определяется относительно какой-либо точки или оси.

21В большинстве курсов общей физики момент силы, момент импульса относительно оси, а также кинематические величины, характеризующие вращение вокруг неподвижной оси, вводятся как

скалярные алгебраические величины. В нашем же курсе это аксиальные векторы.

39

z

D

h

O A

xy

Рис. 4.2

Плечо силы – это скалярная величина – кратчайшее расстояние от оси до линии

1.5.2. Основное уравнение динамики вращательного движения

ренних сил, приложенных к нему же.