Конспект_ИЭЭ_14

100

Рис. 12.3

2.7.3. Распределение молекул идеального газа по энергиям

Найдём функцию распределения молекул идеального газа по кинетическим энергиям ε – F(ε). Число молекул с энергиями от ε до ε + dε

Эти энергии соответствуют скоростям молекул от v до v + dv. Число молекул dNε можно выразить и через функцию распределения Максвелла F(v)34:

Для того чтобы найти F(ε), выразим скорость молекулы и функцию распределения Максвелла через кинетическую энергию:

34 Функции F(v) и F(ε) – это разные функции. Принято обозначать их одним символом.

0 εвер

Рис. 12.4

Дополнительное задание

Доказать, что наиболее вероятное значение кинетической энергии молекулы

2.7.4. Барометрическая формула

Рассмотрим столб идеального газа (молярная масса равна µ) в однородном грави-

T (изотермическая атмосфера). Найдём зависимость давления и концентрации газа от высоты.

– барометрическая формула. Можно записать эту формулу в виде

Эти формулы можно также представить через массу молекулы m0:

или через потенциальную энергию молекулы εп = m0gh (см. РАЗДЕЛ 1.8.4):

Графики зависимости концентрации газа от высоты при двух разных температурах и одинаковом давлении на нулевом уровне показаны на РИС. 12.6.

n

T2

Рис. 12.6

Демонстрация: Распределение молекул в поле тяжести

2.7.5. Распределение Максвелла-Больцмана

Распределение Больцмана:

εп

n n0e kT ,

здесь εп – потенциальная энергия молекулы, n0 – концентрация газа на нулевом уровне потенциальной энергии. Эту формулу мы вывели в ПРЕДЫДУЩЕМ РАЗДЕЛЕ для однородного гравитационного поля, но можно показать, что распределение Больцмана справедливо для любого потенциального поля.

103

Между распределениями Максвелла в форме (12.4) и Больцмана есть большое

Распределение Максвелла:

– число частиц в элементе объёма фазового пространства (dx, dy, dz, dvx, dvy, dvz).

105

Уравнение Ван-дер-Ваальса (уравнение состояния реального газа):

2.8.2. Изотермы реального газа

Фаза в термодинамике – совокупность однородных, одинаковых по всем своим свойствам частей термодинамической системы.

Представим уравнение Ван-дер-Ваальса (13.1) в виде явной зависимости p(Vµ):

Графики этой зависимости при разных температурах представлены на РИС. 13.3.

p

Рис. 13.3

Видно, что при низких температурах кривая p(Vµ) имеет по два экстремума, а при более высоких – зависимость p(Vµ) монотонна. Пограничная изотерма – критическая – имеет один горизонтальный перегиб (кривая красного цвета на РИС. 13.3). Состояние газа с параметрами, соответствующими этой точке, называется критическим. Параметры критического состояния можно найти из условий

Проведя преобразования, получим

В реальности зависимости давления от объёма с двумя экстремумами не наблюдаются. Вещество, в котором давление растёт с ростом объёма при постоянной температуре, не может быть стабильным. В таких областях вещество становится неоднородным и расслаивается на две фазы.

Состояния, в которых с ростом давления растёт объём, нестабильны и не реализуются (участок 2-3-4 одной из кривых на РИС. 13.3). Их заменяет прямой участок

1-5.

Перечислим, в каком состоянии находится вещество на разных участках изотермы Ван-дер-Ваальса:

1-5 – насыщенный пар – газ, находящийся в термодинамическом равновесии со своей жидкостью;

1-2 – перегретая жидкость;

4-5 – пересыщенный пар35.

Критическая температура – это температура, при которой стирается различие между жидкостью и газом36. При температуре больше критической принципиально невозможно перевести газ в жидкое состояние.

Критическая температура воды: tкр = 374°С.

На РИС. 13.4 показано, в какой фазе находится вещество на разных участках диаграммы (p, V). Обозначения: Г – газ, Ж – жидкость, П – пар, К – критическая точка.

35Перегретую жидкость и пересыщенный пар можно получить, если нагревать жидкость (или, соответственно, охлаждать пар) очень осторожно, так чтобы в жидкости (паре) не образовывались зародыши газообразной (жидкой) фазы, т. е. в среде должны отсутствовать неоднородности, а также следует избегать механических возмущений.

36Термин «пар» используется для обозначения газообразного состояния при температурах ниже

критической, а «газ» – при температурах, соответственно, выше критической.

107

p

К

Демонстрация: Критическое состояние эфира

2.8.3. Диаграммы состояния вещества

Разные фазы одного и того же вещества могут находиться в термодинамическом равновесии друг с другом. При этом каждому значению давления соответствует своё значение температуры. Совокупность равновесных состояний двух и более фаз изображается на диаграммах (p, T) (РИС. 13.5).

p

К

ТТ

Рис. 13.5. Фазовая диаграмма вещества

Обозначения на РИС. 13.5: Г – газ, Ж – жидкость, ТТ – твёрдая фаза, К – критическая точка, Тр – тройная точка.

Тройная точка – единственная точка на фазовой диаграмме, в которой 3 фазы вещества находятся в термодинамическом равновесии.

Для воды pтр = 6,4·102 Па (5 мм рт. ст.); Tтр = 273,15 К (точно37).

2.8.4. Фазовые переходы

Фазовой переход – переход вещества из одной фазы к другой.

37 Единственность тройной точки делает её удобной для установления эталона температуры.

дящего состояния в нормальное

Теплота фазового перехода Q (характеризует переходы I рода) – количество теплоты, выделяемое (поглощаемое) веществом при фазовом переходе.

Удельная теплота фазового перехода – теплота фазового перехода, приходя-

щаяся на вещество единичной массы:

2.9. Неравновесные процессы

Средняя длина свободного пробега молекулы идеального газа – среднее расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными соударениями.

Найдём эту величину. Будем считать молекулы неподвижными, движется только «тень» одной молекулы. «Тень» столкнётся со всеми молеку-

лами, центры которых лежат внутри цилиндра 2d диаметром 2d (РИС. 13.7). Число этих молекул N

равно числу столкновений «тени»

109

На самом деле молекулы не неподвижны. Теперь рассмотрим движение молекулы относительно других молекул. Относительная скорость молекулы

Среднеквадратичные скорости пропорциональны среднеарифметическим, поэтому

Среднее время между двумя последовательными соударениями молекулы

Среднее число столкновений молекулы в единичный промежуток времени

2.9.2. Эмпирические уравнения явлений переноса

Явления переноса (кинетические явления) – явления, происходящие в процессе установления термодинамического равновесия.

Три основных кинетических явления, их эмпирические уравнения с выводом и соответствующие характеристики сред представлены в ТАБЛИЦЕ 13.1.