Понятие обыкновенной линейной системы

Система автоматического управления называется обыкновенной линейной, если процесс в системе можно описать обыкновенным линейным дифференциальным уравнением порядка "n". Это уравнение записывается в следующем виде:

где у(t)– выходная (управляемая) величина;х(t)– входное воздействие;c_i, b_j– постоянные коэффициенты уравнения,n > m.

Реальные САУ и их элементы обычно имеют нелинейные статические характеристики и описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако на практике в ряде случаев нелинейностью можно пренебречь и описать САУ или ее элемент линеаризованным (приведённым к линейному виду) дифференциальным уравнением.

Таким образом, обыкновенная линейная система является упрощенной математической моделью для описания реальных систем автоматического управления. Процессы в обыкновенной линейной системе описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями любого порядка "n". Все сигналы в такой системе непрерывны и связаны между собой линейными функциональными зависимостями.

Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение порядка "n" в теории автоматического управления принято записывать в операторном виде

,

где – оператор дифференцирования.

Решение дифференциального уравнения y(t)дает описание процесса в системе, возникающего при воздействии на ее вход сигналаx(t).Решение дифференциального уравнения складывается из общего решения и частного решение

,

где – общее решение дифференциального уравнения без правой части, описывающее свободный процесс в системе независимо от вида входного воздействия;– частное решение дифференциального уравнения, зависящее от его правой части и описывающее вынужденный процесс в системе.

Для нахождения общего решения нужно решить уравнение без правой части

.

Общее решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения порядка "n" имеет вид

,

где A_i – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий ;p_i – корни характеристического уравнения

.

В статическом состоянии системы все сигналы в ней постоянны и, следовательно, все производные этих сигналов равны нулю. Тогда

и дифференциальное уравнение системы вырождается в статическую характеристику

или ,

где K – коэффициент усиления системы.

Теория обыкновенных линейных систем автоматического управления была разработана в первую очередь и является базой для теории автоматического управления.

Передаточная функция

Обыкновенная линейная система автоматического управления описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением

Если предположить, что система в исходном состоянии имеет нулевые начальные условия y (0) = 0, y '(0) = y '' (0) = ... = 0и применить к дифференциальному уравнению системы преобразование Лапласа, то получим изображение Лапласа для дифференциального уравнения системы

.

Полученное уравнение является алгебраическим уравнением и связывает изображения входной и выходной величин системы

,,

где L – символ преобразования Лапласа.

В уравнении − комплексный параметр финкций-изображений. Уравнение можно решить относительно изображения выходной величиныY(p)

.

Передаточной функциейэлемента или системы автоматического управления называется отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин:

^.

При нахождении передаточной функции подразумевается, что элемент (или система) находится при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией от независимой переменной р. Передаточная функция легко получается из исходного дифференциального уравнения формальной подстановкой вместо производных символарв соответствующей степени.

При р= 0 передаточная функция вырождается в коэффициент передачи. Для передаточной функцииm < n.

При известной передаточной функции процесс в системе определяется следующим образом:

и.

Корни полинома от p степениm, стоящего в числителе передаточной функции, называются нулями передаточной функции, корни полинома в знаменателе передаточной функции – полюсами. В общем случае передаточная функция имеетm нулей иnполюсов. Нули и полюса могут быть комплексными.