- •Использование методов теории автоматического управления при разработке мехатронных систем
- •Список сокращений
- •Введение в мехатронику
- •Управление от эвм
- •Автоматическое регулирование
- •Обобщённая структура автоматической системы
- •Принципы автоматического управления
- •Задачи теории автоматического управления
- •Математическая модель автоматической системы
- •Классификация систем автоматического управления
- •Структурный метод описания сау
- •Понятие обыкновенной линейной системы
- •Передаточная функция
- •Типовые воздействия
- •Временные характеристики системы автоматического управления
- •Частотная передаточная функция системы автоматического управления
- •Частотные характеристики системы автоматического управления
- •Типовые звенья
- •5. Дифференцирующее звено
- •Соединения структурных звеньев
- •Преобразования структурных схем
- •Передаточная функция замкнутой системы автоматического управления
- •Передаточная функция замкнутой системы по ошибке
- •Построение частотных характеристик системы
- •Понятие устойчивости
- •Условие устойчивости системы
- •Теоремы Ляпунова об устойчивости линейной системы
- •Критерии устойчивости системы Общие сведения
- •Критерии устойчивости Гурвица
- •Критерий устойчивости Найквиста
- •Применение критерия к логарифмическим характеристикам
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Показатели качества
- •Точность системы автоматического управления Статическая ошибка системы
- •Вынужденная ошибка системы
- •Прямые методы анализа качества системы Аналитическое решение дифференциального уравнения
- •Численное решение дифференциального уравнения
- •Оценка качества сау по логарифмическим характеристикам
- •Постановка задачи синтеза системы
- •Параметрический синтез системы
- •Промышленные регуляторы
- •Настройка промышленных регуляторов
- •Библиографический список
- •Содержание
Применение критерия к логарифмическим характеристикам
При использовании критерия Найквиста можно рассматривать не амплитудно-фазовую частотную характеристику системы, а ее логарифмические частотные характеристики. Пусть разомкнутая система устойчива, тогда устойчивость замкнутой системы по Найквисту определится положением годографа W(j) по отношению к контрольной точке(рис. 45).
Если годографW(j)не охватывает контрольную точку (кривая 1), то замкнутая система устойчива, если охватывает (кривая 2) – система неустойчива. В точке пересечения АФЧХ с отрицательным направлением вещественной оси (частота1) угол фазового сдвига. Для устойчивой системы частота срезас(при этой частоте АФЧХ пересекает единичную окружность и при этом, а) меньше частоты1, при которой фазовый угол равен -. Для неустойчивой системы соотношение этих частот обратное ().
Таким образом, для устойчивой системы частота среза меньше частоты для фазового угла в -, а для неустойчивой системы соотношение этих частот обратное. Это условие легко проверяется с использованием логарифмических частотных характеристик системы.
На рис. 46 показаны логарифмические частотные характеристики для устойчивой (1) и неустойчивой (2) систем: L() – логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ),()– логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ),с– частота среза системы,1– частота фазового угла-(или-180).
Для устойчивой системы и частота, при которой угол фазового сдвига, соответствует области отрицательных ординат логарифмической амплитудной характеристикиL(). Для неустойчивой системы (логарифмическая амплитудная характеристика 2)и частота1соответствует области положительных значений ординат ЛАХ (т.е. на этой частоте коэффициент усиления системы больше единицы).
Следовательно, система будет устойчива, если точка пересечения ЛАХ с осью частот лежит левее точки пересечения ЛФХ с прямой, соответствующей фазовому сдвигу .
Для устойчивой системы величина угла
(рис. 46) характеризует запас устойчивости системы по фазе, ордината ЛАХ − запас устойчивости системы по амплитуде.
Логарифмический критерий устойчивости обладает большой простотой и наглядностью, что обуславливает его распространенность при исследовании устойчивости системы. Если использовать асимптотические логарифмические частотные характеристики системы, то простота применения критерия ещё более очевидна.
Критерий устойчивости Михайлова
Для применения критерия Михайлова необходимо иметь характеристический полином замкнутой системы. Если передаточная функция замкнутой системы , то характеристический полином. Характеристический полином преобразуется вхарактеристический комплексподстановкой:
.
Критерий Михайлова формируется следующим образом: замкнутая система будет устойчива, если полное приращение аргумента характеристического комплекса при изменении частотыот 0 доравно, гдеn – степень характеристического полинома .
Для проверки выполнения требований критерия строится годограф характеристического комплекса на комплексной плоскости. Этот годограф называют также кривой Михайлова. При выполнении требований критерия Михайлова кривая Михайлова будет соответствовать следующим требованиям:
кривая имеет плавную спиралевидную форму,
последовательно проходит через квадранты комплексной плоскости,
уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степениnхарактеристического полинома.
Кривая Михайлова строится по точкам для разных частот . Вид кривых Михайлова для устойчивых систем порядка 2, 3 и 5 показан на рис. 47а. Любое нарушение требований к виду кривой Михайлова для устойчивой системы говорит о неустойчивости системы. Пример кривой Михайлова для неустойчивой системы третьего порядка показан на рис. 47б. В этом случае кривая перескакивает из первого квадранта в четвёртый и нарушается последовательность прохождения квадрантов комплексной плоскости.
Условием нахождения системы на границе устойчивости по Михайлову является равенство нулю характеристического комплекса:
.
Это условие можно записать в виде двух условий и. В таком виде условие граничной устойчивости по Михайлову часто используется при анализе систем автоматического управления. Для систем, находящихся на границе устойчивости, кривая Михайлова будет проходить через начало координат.