Критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста является частотным критерием и дает возможность судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы. Частотная передаточная функция разомкнутой системы может быть получена из передаточной функции разомкнутой системы

Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы представляет собой годограф вектора на комплексной плоскости при изменении частоты в пределах . Об устойчивости замкнутой системы судят по виду этого годографа.

Критерий Найквиста имеет следующую формулировку: если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системыамплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не должна охватывать на комплексной плоскости точку с координатамипри изменении частоты в пределах.

Примеры АФЧХ устойчивых систем показаны на рис. 43. Сплошной линией показана положительная ветвь АФЧХ (соответствующая ), пунктирной – отрицательная ветвь.U, V – вещественная и мнимая составляющие комплекса соответственно. В обоих случаях контрольная точка не попадает внутрь контура кривой, соответствующей годографу, что говорит об устойчивости исследуемой системы.

Для исследования устойчивости по Найквисту можно строить амплитудно-фазовую частотную характеристику только для положительных частот, поскольку ветвь для отрицательных частот является зеркальным отображением положительной ветви.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, может стать устойчивой при замыкании отрицательной обратной связи. Причиной неустойчивости разомкнутой системы могут, например, быть неустойчивые местные положительные обратные связи. Для решения вопроса об устойчивости такой системы в замкнутом состоянии необходимо убедиться в наличии у знаменателя передаточной функции разомкнутой системы корней, лежащих в правой полуплоскости (т.е. с положительной вещественной частью), и определить их число k.

Критерий Найквиста для таких систем формулируется следующим образом:если система неустойчива в разомкнутом состоянии и её характеристический полином имеет k корней, лежащих в правой полуплоскости комплексной плоскости корней, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы должна охватыватьk раз точку при изменении частоты от.

Пример амплитудно-фазовой частотной характеристики системы, которая неустойчива в разомкнутом состоянии при наличии двух правых корней характеристического полинома и становится устойчивой в замкнутом состоянии, показан на рис. 44. В рассматриваемом примере при изменении частоты вектор, проведённый из точкив текущую точку АФЧХ, поворачивается вокруг точкина угол, т.е. годограф охватывает точкудва раза. Следовательно, в замкнутом состоянии система будет устойчивой.

Основным достоинством критерия Найквиста является его наглядность и возможность использования экспериментальных амплитудно-фазовых частотных характеристик системы в том случае, когда получение дифференциальных уравнений для системы затруднено или невозможно.