3.2.3.Показатели качества, определяемые по частотным характеристикам

Анализ системы стараются проводить на основе изучения ЛАХ (рис. 3.3). Однако во всех случаях, вызывающих какие-либо сомнения (например, когда фазочастотная характеристика несколько раз пересекает уровень () = – ), необходимо об устойчивости системы судить по виду амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) в разомкнутом состоянии (см. рис.3.2).

1. Показатели качества, определяемые по логарифмическим частотным характеристикам

Рассматриваемые характеристики позволяют определить:

a) характерные частоты системы: частоту среза _ср и критическую частоту _кр согласно выражениям

A(_ср) = 1, L(_ср) = 20lgA(_ср) = 0, (_кр) =– . (3.20)

Таким образом, частота среза – это частота, на которой кривая L() пересекает ось ω. Критическая частота – частота, на которой фазовая характеристика  () равна –180.

Для рассматриваемого на рис.3.3 примера _ср  10³ с^-1, _кр  210³ с^-1.

В большинстве случаев условие _ср< _кр означает, что в соответствии с критерием Найквиста рассматриваемая система устойчива (в общем случае заключение об устойчивости следует проводить на основе анализа АФХ системы);

б) запасы устойчивости по амплитуде и фазе определяются соотношениями

L =L(_ср) –  L(_кр)=L(_кр);  =  – (_ср). (3.21)

В рассматриваемом на рис.3.3 примере L  14 дБ,   20 (обычно по техническим условиям желательно иметь L  12 дБ,   30);

в) переходный процесс имеет апериодический характер, если _ср попадает на участок с наклоном – 20 дБ/дек. Необходимая протяженность этого участка будет определена ниже.

Переходный процесс в рассматриваемой на рис. 3.3 системе обладает колебательными свойствами, поскольку частота среза _ср находится на участке амплитудно-частотной характеристики с наклоном – 40 дБ/дек;

г) быстродействие двух однотипных систем (например, два варианта одной системы) можно оценить по частоте среза, поскольку _ср определяет полосу пропускания системы. Чем шире полоса пропускания, тем выше быстродействие;

д) для очень колебательных систем частота среза _ср близка к частоте колебаний переходного процесса и, следовательно, период колебания переходной характеристики можно оценить следующим образом:

T_кол . (3.22)

Если по величине показателя колебательности M задаться числом колебаний r за время переходного процесса (см. табл. 3.1), то можно определить длительность переходного процесса

t_п  rT_кол. (3.23)

2. Показатели качества, определяемые по виду амплитудно-частотной характеристики системы в замкнутом состоянии A_з(ω)

Как уже отмечалось в параграфе 3.2.1 по виду амплитудно - частотной характеристики A_з(ω) можно определить следующие показатели качества системы:

а) показатель колебательности M;

б) величину полосы пропускания ∆ω;

в) время переходного процесса .

2. Показатели качества, определяемые по виду амплитудно-фазовой характеристики системы в разомкнутом состоянии (АФХ)

Как уже отмечалось, анализ системы стараются проводить на основе изучения ЛАХ. Но во всех случаях, вызывающих какие-либо сомнения необходимо использовать амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) в разомкнутом состоянии (см. рис. 3.2). В учебных целях эту характеристику необходимо использовать во всех вариантах задания.

Представляет большие трудности построение АФХ по аналитически полученным формулам. Учитывая, что для анализа системы большой точности не требуется, можно АФХ строить графически на основе имеющихся графиков ЛАХ. Действительно, ЛАХ позволяет для каждого значения частоты  графически определить значение амплитуды А() (L() = 20lgA()) и фазы () и, используя полярную систему координат, построить точку, принадлежащую АФХ, на комплексной плоскости. Ниже при рассмотрении конкретного примера будет продемонстрирована методика построения АФХ.

Анализ АФХ позволяет сделать следующие выводы:

а) рассматриваемые системы во всех вариантах задания устойчивы в разомкнутом состоянии (нулевые корни s_i = 0, соответствующие интегрирующим звеньям, считаются условно устойчивыми; инерционным звеньям соответствуют устойчивые корни: s_i = – ). Следовательно, в соответствии с критерием Найквистазамкнутая система устойчива, если АФХ не охватывает точку ( –1, 0) В случаях, когда передаточная функция системы в разомкнутом состоянии содержит интегрирующие звенья, АФХдополняется дугой бесконечно большого радиуса, поворачивающей против часовой стрелки низкочастотную часть характеристики на угол, равный девяносто градусам, помноженный на число интегрирующих звеньев (рис. 3.8);

Рис. 3.8. АФХ системы в разомкнутом состоянии

б) характерные частоты _ср и _кр и запасы устойчивости A и  могут быть определены также и по АФХ и, естественно, их значения должны совпадать с полученными ранее с использованием ЛАХ;

в) колебательность системы оценивается величиной показателя колебательности M.

На комплексную плоскость с изображением АФХ наносятся линии постоянного уровня показателя колебательности М, представляющие собой окружности с центром в точке (–С, 0). При М>1 С = , радиус окружностиR = . Концы диаметра этой окружности находятся в точкахи(точкиA и B на рис. 3.8). Требуется определить такое значение М, при котором окружность касается АФХ. На рис. 3.8 изображены линии постоянного уровня, которым соответствуют значения М, равные 1,5; 2; 2,5. Для рассматриваемой системы М = 2.54, т.е. систему следует отнести к разряду сильно колебательных (табл. 3.1).

Таким образом, построений на комплексной плоскости вполне достаточно, чтобы определить величину М, но для большей наглядности можно построить график А_з = А_з().

Линии постоянного уровня заданного значения М на этом графике (рис. 3.4) представляют собой горизонтальные прямые. По графику АФХ (рис. 3.8) требуется определить значение частот, при которых окружность с соответствующим значением М пересекает характеристику, и нанести их на график рис. 3.4. Например, линия постоянного уровня М = 2 на рис. 3.8 пересекает АФХ в точках с частотами ₁ и ₂. Для определения значений частот ₁ и ₂ сначала по графику АФХ на рис. 3.8 определяются значения амплитуд A(₁) и A(₂) (2 и 0,27 соответственно), вычисляются значения L(₁) = 20lgA(₁) и L(₂) = 20lgA(₂) и окончательно по ЛАХ на рис. 3.3 определяются значения ₁ и ₂. Нанеся их на ось частот графика А_з() рис. 3.4 и проведя через них вертикали, на пересечении с горизонтальной прямой уровня М = 2 получим две точки кривой А_з = А_з(). Аналогично строятся другие точки характеристики А_з = А_з().