Posobie_ch_1

Н. Б. ЛЕВЧЕНКО Л. М. КАГАН-РОЗЕНЦВЕЙГ

И. А. КУПРИЯНОВ О. Б. ХАЛЕЦКАЯ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ЧАСТЬ 1

Санкт-Петербург

2011

2

Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Автомобильно-дорожный факультет

Кафедра сопротивления материалов

Н. Б. ЛЕВЧЕНКО Л. М. КАГАН-РОЗЕНЦВЕЙГ

И. А. КУПРИЯНОВ О. Б. ХАЛЕЦКАЯ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие по выполнению расчетно-графических работ для студентов всех специальностей и форм обучения

ЧАСТЬ 1

Задачи № 1–11

Под редакцией д-ра техн. наук, проф. В. Д. Харлаба

Санкт-Петербург

2011

3

УДК 539.3/8(07)

Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению рас- четно-графических работ для студентов всех специальностей и форм обучения. Ч. 1 / Н. Б. Левченко (гл. 1, кроме разд. 1.2.3), Л. М. КаганРозенцвейг (гл. 2), И. А. Куприянов (гл. 1, разд. 1.2.3; гл. 3), О. Б. Халецкая (гл. 2); СПбГАСУ. СПб., 2001. с.

В пособии даны краткие сведения из теории, необходимые для решения задач, и приводятся примеры решения задач, входящих в расчетно-графические работы, по трем темам: "Растяжение-сжатие", "Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния" и "Кручение". Решение задач снабжено подробными объяснениями.

Ил. 54. Библиогр. 4 назв.

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. В. З. Васильев (Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения); д-р техн. наук, проф. В. В. Улитин (Санкт-Петербургский государст-

венный университет низкотемпературных и пищевых технологий)

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия

©Н. Б. Левченко, Л. М. Каган-Розенцвейг, И. А. Куприянов, О. Б. Халецкая, 2011

©Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2011

4

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

Впроцессе изучения курса "Сопротивление материалов" студенты выполняют расчетно-графические работы (РГР). Количество РГР и задач, входящих в каждую из этих работ, зависит от специальности и количества часов, отведенных в учебном плане на изучение курса. Цель РГР – сознательное усвоение теоретического курса и приобретение навыков решения задач, имеющих как академический, так и практический характер.

Данное учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам при выполнении расчетно-графических работ. Номера задач, решение которых объясняется в данном пособии, соответствуют номерам задач в издании [4], по которому студенты выбирают схемы решаемых задач.

Вданном пособии приводятся краткие теоретические сведения и основные формулы, необходимые для выполнения задач, объясняются смысл и порядок решения задач. Решение одних задач сопровождается численными расчетами, решение других приведено в общем виде. Ни в коем случае не следует копировать решение задач, не разобравшись со смыслом того, что Вы делаете. Пособие не заменяет учебник, поэтому перед выполнением задач прочитайте те разделы учебников, которые приведены в перечне литературы по изучаемой теме. В процессе расчетов обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Не забывайте писать, в каких единицах Вы получили результат. Рекомендуемые единицы измерения приведены в перечне используемых обозначений. Все арифметические вычисления следует выполнять с точностью до трех значащих цифр – точностью, достаточной для инженерных расчетов.

Расчетно-графические работы оформляются на одной стороне стандартных листов писчей бумаги формата А-4 (210х297). Перед решением задачи необходимо нарисовать расчетную схему задачи в масштабе в соответствии со своими данными. Решение задачи должно сопровождаться короткими пояснениями, рисунки желательно делать карандашом, на листах должны быть оставлены поля для заме-

5

чаний преподавателя. После выполнения всех задач, входящих в рас- четно-графическую работу, листы с решением следует сброшюровать и снабдить титульным листом.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Нагрузки:

F – сосредоточенная сила, кН;

M – сосредоточенная пара сил (момент), кН м;

q – интенсивность распределенной по длине стержня нагрузки, кН/м.

Обозначение осей:

x– продольная ось стержня;

y, z – главные центральные оси инерции поперечного сечения стержня.

Геометрические характеристики поперечного сечения стержня:

A – площадь поперечного сечения, см2;

Внутренние усилия:

N – продольная сила, кН;

Qy , Qz , (Q) – поперечные силы, кН;

My , Mz, (M) – изгибающие моменты кН м; Mк – крутящий момент, кН м.

Напряжения:

x , y , z , ( ) – нормальные напряжения, МПа;

xy , yz , zx , ( ) – касательные напряжения, МПа;

1, 2 , 3 , ( гл) – главные напряжения, МПа.

Деформации и перемещения:

x , y , z ,( ) – относительные линейные деформации;xy , yz , zx , ( ) – угловые деформации (углы сдвига);

l – абсолютная деформация стержня при растяжении-сжатии (перемещения точек оси вдоль оси x), см;

v, w – прогибы оси стержня (балки) при изгибе (перемещения точек оси вдоль осей y, z), см;

– угол поворота оси стержня (балки) при изгибе, рад;

6

– угол закручивания стержня (вала) при кручении, рад.

Характеристики материала:

пц – предел пропорциональности, МПа;т – предел текучести, МПа;

в – временное сопротивление (для хрупких материалов рв – предел прочности при растяжении, св – предел прочности при сжатии), МПа;

[ ], [ ] – допускаемые напряжения, МПа; E – модуль упругости, МПа;

– коэффициент Пуассона;

– коэффициент линейного температурного расширения, 1/град.

7

1. РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление мате-

риалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.1, 2.2), гл. 3 (§ 3.1, 3.4, 3.6–3.12).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 2.

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 1 (§ 1.3), гл. 2.

Основные понятия и формулы

Растяжение-сжатие – простейший вид деформации стержня. При растяжении-сжатии в стержне из шести видов внутренних усилий возникает только одно усилие – продольная сила N.

Для определения внутренних усилий в стержнях и стержневых системах используется метод сечений. Согласно этому методу продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня.

Примем следующее правило знаков для продольной силы: растяги-

вающая продольная сила положительна, сжимающая – отрицательна

тяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие, будем на-

зывать опасным.

После определения продольной силы можно найти нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при растяжении-сжатии по формуле

9

является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций, подробно о которых можно прочитать в [1, § 3.12]. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности можно записать в таком виде:

где max – максимальное напряжение в конструкции, вычисляемое с помощью формулы (1.1); [ ] –допускаемое напряжение которое находится по формуле

В формуле (1.6) пред – предельное напряжение, которое явля-

ется характеристикой материала. При достижении такого уровня напряжения в материале стержня наступает предельное состояние: появляются пластические деформации, если материал пластичный, или происходит разрушение, если материал хрупкий. n – нормируемый коэффициент запаса прочности.

Кроме формулы (1.5), возможен второй вариант записи условия прочности

называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал оказался в опасном (предельном) состоянии.

Порядок решения большинства задач о проверке прочности статически определимых стержневых систем при расчете по допускаемым напряжениям таков:

1)находим внутренние усилия (продольную силу при растяже- нии-сжатии);

2)определяем напряжения и выявляем опасные сечения;

3)вычисляем максимальные напряжения в опасных сечениях и используем условие прочности (формулы (1.5) или (1.7) при растяже-

10

нии-сжатии).

Из условия прочности:

либо находим грузоподъемность конструкции, т. е. допускаемую нагрузку – максимальную нагрузку, обеспечивающую безопасную эксплуатацию конструкции;

либо подбираем сечения стержней, т. е. находим такие минимальные размеры поперечного сечения, которые обеспечивают безопасную эксплуатацию конструкции.

Если нагрузка на конструкцию задана и известны размеры поперечных сечений стержней, то просто проверяем прочность (по формулам (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии) и делаем вывод о возможности эксплуатации конструкции.

Примеры решения задач

1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного растяжению-сжатию (задача № 1)

Условие задачи

Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей A1 / A2 2 подвержен действию нагрузок, показанных на рис. 1.3, а. Цель расчета – подобрать площади сечений так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности (1.5) или (1.7). (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)

Решение

Определяем продольную силу и строим эпюру N. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:

R F2 q1l3 F1 q2l2 .

Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке:

на первом участке (0 x1 l1) N (x1) R ;

на втором участке (0 x2 l2 ) N (x2 ) R F2 q2 x2 ; на третьем участке (0 x3 l3 ) N (x3 ) F1 q1x3 .