Posobie_ch_1
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
главных осей определяются соотношениями (2.13): |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
[ |
|
|
( |
|
|
|
|
)] , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|||||||||||
1 |
|
E |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
[ |
|
|
( |
|
|
)] , |
(2.14) |
|||||||
2 |
|
|
|
2 |
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
[ |
|
|
|
( |
|
|
|
)] . |
|
|||||
3 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
E |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Соответствующие угловые деформации равны нулю. |
|
||||||||||||||||||
Относительная объемная деформация v в точке есть отношение абсолютного изменения объема элементарного параллелепипеда к его
первоначальному объему. Связь объемной деформации v |
с линей- |
ными деформациями дает соотношение |
|
v x y z 1 2 3 . |
(2.15) |
Оценка прочности. Прочность материала в точке проверяется по соответствующей материалу теории прочности. Из большого числа ныне существующих теорий прочности при выполнении студенческих задач используются перечисляемые ниже.
Под исчерпанием прочности подразумевается переход материала в предельное состояние, то есть разрушение для хрупкого материала и возникновение пластической деформации для пластичного материала. Расчет должен обеспечивать нормативный запас прочности, что достигается введением коэффициента запаса прочности, понижающего разрешаемый уровень напряжений.5
Для всех применяемых при выполнении расчетно-графической работы теорий прочности условие прочности можно записать в еди-
ном виде |
|
экв р , |
(2.16) |
где р Rр / n – допускаемое напряжение. Величина Rр |
представ- |
5 Современные нормы строительного проектирования предусматривают более сложный подход (введение отдельных коэффициентов запаса на нагрузку, свойства материала, условия работы конструкции). С этим студент познакомится при изучении курсов металлических, железобетонных и других конструкций.
52
ляет собой предельный уровень напряжения и определяется из эксперимента. Для хрупких материалов она совпадает с пределом прочности при осевом растяжении, для пластичных материалов – с пределом текучести при осевом растяжении. n – нормируемый коэффициент запаса прочности. экв – комбинация главных напряжений 1,
2 , 3 (эквивалентное напряжение).
Согласно первой теории прочности, справедливой для хрупких материалов, разрушение происходит от отрыва при достижении максимальным напряжением 1 (оно должно быть положительным, т. е. растягивающим) предельного значения. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению главного напряжения 1.
Условие прочности имеет вид |
|
экв 1 р . |
(2.17) |
Вторая теория прочности также применяется к хрупким материалам. Согласно этой теории разрушение происходит от отрыва при достижении максимальной деформацией 1 (она должна быть положительной) предельного значения. Деформации вплоть до момента разрушения считаются малыми и вычисляются по закону Гука. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению действия главного напряжения 1. Условие прочности приводится к ви-
ду |
1 (2 3 ) р . |
|
экв |
(2.18) |
Третья теория прочности определяет уровень напряжений, при котором в пластичном материале возникают заметные остаточные деформации. Согласно этой теории переход материала в предельное состояние происходит от сдвига при достижении максимальным касательным напряжением max предельного значения. Плоскость
сдвига (опасное сечение) совпадает с плоскостью действия напряжения max . Данной теории соответствует условие прочности
экв 1 3 р . |
(2.19) |
Согласно четвертой теории прочности пластическое деформирование возникает от сдвига при достижении энергией изменения формы предельного значения. Условием прочности служит соотношение
53
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
[( |
|
|
)2 |
( |
|
|
|
)2 |
( |
|
|
)2 ] . |
(2.20) |
|
экв |
|
2 |
2 |
3 |
3 |
|||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
р |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непосредственно эта теория прочности не определяет положения опасных площадок. Последние (на основании иной трактовки теории) можно считать равно наклоненными к главным осям (октаэдрические площадки).
Условие прочности, соответствующее теории прочности Мора (пятой теории прочности), имеет вид
|
экв |
|
|
вр |
3 |
. |
(2.21) |
|
1 |
|
с |
р |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
Здесь вр , св – пределы прочности при растяжении и при сжатии. По теории Мора можно определить и положение опасных площадок. Соответствующая формула не приводится.
К оценке прочности хрупких материалов применяются первая, вторая и пятая теории прочности. Однако результаты оценки заметно различаются. Наиболее достоверна оценка по пятой теории прочности.
Третья и четвертая теории прочности применяются к оценке прочности пластических материалов, дают близкие оценки прочности и широко используются в инженерных расчетах.
54
Примеры решения задач
2.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПО ЗАДАННЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПЛОЩАДКАХ.
ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ (ЗАДАЧА № 7)
Условие задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элемент, выделенный из тела, находится в |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
плоском напряженном состоянии (рис. 2.3). По |
||||
|
|
|
граням элемента заданы нормальные и касатель- |
||||
|
|
|
ные напряжения, значения которых приведены |
||||
|
|
|
на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
Материал элемента – сталь с такими харак- |
||||
|
|
|
теристиками: предел |
текучести |
|
МПа; |
|
|
Рис. 2.3. Условие |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
задачи № 7 |
|
модуль Юнга E 2 105 МПа; коэффициент Пу- |
||||
ассона 0,3; |
модуль сдвига G |
E |
0,77 105 |
МПа; норми- |
|||
|
|||||||
2(1 )
руемый коэффициент запаса прочности n 1,5. Требуется:
1)найти нормальное, касательное и полное напряжения на наклонной площадке, заданной углом 105 (см. рис. 2.3);
2)определить величины главных напряжений и положение главных площадок;
3)найти наибольшее касательное напряжение и положение площадки, по которой оно действует;
4)оценить прочность материала в точке и показать вероятное направление плоскости сдвига или отрыва (опасной площадки);
5)найти линейные и угловые деформации в системе координат xyz и линейные деформации вдоль главных направлений; вычислить
относительную объемную деформацию.
Примечание. Пп. 1–3 следует выполнить двумя способами: аналитическим и графическим.
55
Решение
z |
n |
n= 105 |
|
xz= –80
x= –20
x
z= –100
Рис. 2.4. Уточнение условия задачи
Изобразим элемент в виде плоского рисунка (рис. 2.4), на котором укажем систему координат. Покажем наклонную площадку и внешнюю нормаль к ней, отметив штриховкой внутреннюю сторону площадки. Система координат позволяет обозначить напряжения: x 20МПа,
z 100 МПа, xz 80МПа.
Аналитический способ исследования на-
пряженного состояния
Определение напряжений на наклонной площадке. Напряже-
ния на наклонной площадке (рис. 2.4), находим по формулам (2.2а) и (2.2б). В этих формулах положение площадки задает угол n между
осью x и нормалью n к площадке. Направление отсчета выбираем произвольно, учитывая, что значение угла зависит от выбранного на-
правления. (Угол |
|
нельзя путать с углом , указанным на рис. 2.3.) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Можно отсчитывать угол n не от оси x , а от оси z, тогда в |
|||||||||||||
формулах (2.2а) и (2.2б) напряжения x , z |
надо поменять местами, |
||||||||||||
а напряжение xz |
заменить напряжением zx . Решая задачу, надо вы- |
||||||||||||
бирать более удобный способ отсчета угла n . |
|
|
|||||||||||
Используем угол |
|
|
между n и осью x , отсчитывая его от оси |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
x к нормали n: n 105 . Значение угла положительно, так как угол |
|||||||||||||
отсчитывается против часовой стрелки. Согласно (2.2а) и (2.2б) |
|||||||||||||
|
n |
x z x |
z cos (2 |
n |
) |
xz |
sin (2 |
n |
) 20 100 |
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
,
56
Нормальное напряжение n отрицательно, значит, оно направлено к площадке (сжимающее). Касательное напряжение n положительно,
значит, оно обходит площадку по часовой стрелке.
Выполним то же самое вычисление по-другому. Используем угол n между нормалью n и осью z , отсчитывая его от z к n:
n 15 . Формулы (2.2а) и (2.2б) записываем в измененном виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
z x sin( 2 |
n |
) |
zx |
cos(2 |
n |
) |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 ( 20) sin (2 15 ) 80cos (2 15 ) 49,3МПа. |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль вектора напряжения (или просто |
|||||||||||
|
|
|
полное напряжение) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
p |
|
2 2 |
|
( 134,6)2 (49,3)2 143,4 МПа. |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n
Рис. 2.5. Напряжения на наклонной площадке
|
|
( 20) ( 100) |
|
гл |
|
||
|
|
||
2 |
|||
гл |
|
Вычисленные напряжения показаны на рис. 2.5.
Определение главных напряжений и главных направлений. Согласно (2.5) главные напряжения
12 
[ 20 ( 100)]2 4( 80)2 60 89,44 МПа.
После вычисления главные напряжения нумеруем согласно убыванию. Чтобы не путать напряжения до и после нумерации, специально используем разные обозначения. Пронумерованные главные напряжения таковы:
57
1 29,44 МПа , 2 0 , 3 149,44 МПа .
Найдем положение главных площадок. Сказанное о способах вычисления напряжений относится и к способам вычисления поло-
жения площадок. Здесь вычисляем углы , , задающие главные
гл гл
площадки, одним способом, отсчитывать эти углы от оси x против часовой стрелки. Углы являются решениями уравнения (2.7):
tg (2гл ) |
2xz |
|
2( 80) |
2 |
, |
|
x z |
20 ( 100) |
|||||
|
|
|
|
|||
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
31,7 , |
|
121,7 . |
|
|
|
гл |
|
гл |
|
|
|
гл
z
гл |
гл |
x |
гл |
z |
45° |
|
|
3 |
1 |
|
31,7° |
|
max |
|
x |
max
Рис. 2.6. Положение |
Рис. 2.7. Площадка с максимальным |
главных площадок |
касательным напряжением |
Получены два значения угла, которые отвечают площадкам с напряжениями 1, 3 (рис. 2.6). Выясним, какому из этих напряже-
ний соответствует угол . Для этого определим по формуле (2.8)
гл
знак второй производной d 2 |
n |
d |
2 |
при |
n |
|
: |
|
|
n |
|
гл |
|
d 2 n 2[ 20 ( 100)] cos (2 31,7 ) 4( 80) sin (2 31,7 ) 0 . d n 2
Знак отрицательный, следовательно, по этой площадке действует бóльшее из найденных главных напряжений – напряжение 1. Теперь
можно в соответствии с нумерацией главных напряжений пронумеровать и углы: 1 31,7 , 3 121,7 .
58
Определение максимального касательного напряжения. Каса-
тельное напряжение, максимальное среди касательных напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости x0z (рис. 2.7), определяется формулой (2.10):
|
|
|
|
|
|
МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
рассматриваемом примере главные |
напряжения |
, |
||
|
|
|
|
|
|
гл |
1 |
|
|
3 |
, поэтому касательное напряжение |
max является макси- |
|||
гл |
|
|
|
|
|
|
|
мальным среди касательных напряжений для всей совокупности площадок, проходящих через заданную точку: max max . Нор-
мальное напряжение на той же площадке дается формулой (2.11):
|
|
|
|
|
29,44 ( 149,44) |
|
|
|
max |
|
гл |
гл |
|
|
60МПа. |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Графический способ исследования напряженного состояния
Способ состоит в построении круга напряжений Мора, позволяет проверить аналитическое решение.
Круг Мора является средством вычисления, поэтому его необходимо строить в крупном масштабе на миллиметровке, используя заточенный карандаш. Чем точнее выполнены построения, тем точнее будет получен результат.
Строим круг напряжений (рис. 2.8). Изображаем систему координат 0, используя одинаковый масштаб по вертикальной и горизонтальной осям. Отмечаем на координатной плоскости 0 две точки X, Z , соответствующие площадкам с нормалями x, z . Координатами точек X ( 20, 80), Z( 100, 80) являются нормальные и касательные напряжения на этих площадках. Соединяем точки отрезком, который представляет собой диаметр круга. Точка О пересечения диаметра с осью – центр круга. Проводим окружность.
Точкам I, III пересечения круга с горизонтальной осью соответствуют главные площадки 1, 3. Горизонтальные координаты этих точек (измеренные в масштабе) дают главные напряжения: 1 29МПа,
3 149 МПа.
Отмеченные на рисунке углы дают удвоенные значения углов
|
|
59 |
|
|
|
|
Z |
K |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
2 45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
2 15 |
2 n |
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– 160 |
– 120 |
– 80 O |
– 40 |
20 |
40 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
– 40 |
|
– 80
X
Рис. 2.8. Круг Мора, изображающий заданное плоское напряженное состояние
1 , 3 , которые определяют положения главных площадок. Из рисунка видна связь главных напряжений 1, 3 и углов 1 , 3 . Графически найденные значения: 21 63, 23 243 180 63 .
Площадке, по которой действует максимальное касательное напряжение, соответствует точка K круга. Координаты точки K дают значения max 89МПа, max 60 МПа.
Найдем напряжения на наклонной площадке. Отметим на круге точку N , соответствующую этой площадке, отложив от радиуса OX (соответствующего оси x) против часовой стрелки угол 2n 2 105 ,
либо от радиуса ОZ (соответствующего оси z) в том же направлении
угол 215. Координаты точки N дают напряжения на наклонной площадке: n 135 МПа , n 49 МПа .
Графическим изображением пространственного напряженного состояния служат три круга напряжений. Точки каждого круга изображают площадки, которые перпендикулярны одной из главных площадок. Точки затемненной области изображают всевозможные наклонные площадки. Изображение напряженного состояния в виде
60
трех кругов Мора использу- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ется в качестве иллюстрации, |
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
||||||
а не в качестве способа вы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
числения, поэтому в расчет- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ной работе данный рисунок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
||||||
можно выполнить в меньшем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
масштабе и не обязательно на |
III |
|
|
II |
|
|
I |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
миллиметровке. Круги на- |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– 160 – 120 – 80 |
– 40 |
40 |
||||||||||||||
пряжений |
для |
рассматривае- |
||||||||||||||
мого напряженного состояния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– 40 |
|||||
показаны на рис. 2.9. Круг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
напряжений на рис. 2.8 соот- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ветствует площадкам, пер- |
Рис. 2.9. Круги Мора, изображающие |
|||||||||||||||
пендикулярным |
плоскости |
|
объемное напряженное состояние |
|||||||||||||
чертежа |
(перпендикулярным |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
второй главной площадке). Из рис. 2.9 видно, что максимальное касательное напряжение max определяется по бóльшему кругу.
Проверка прочности. Главные напряжения 1, 2 , 3 вычис-
лены выше.
Начать решение нужно с выбора соответствующей материалу теории прочности. Материал задачи – сталь (пластичный материал), поэтому используем третью и четвертую теории прочности. Для большей ясности вычисленные эквивалентные напряжения будем помечать дополнительным верхним индексом, указывающим номер примененной теории прочности.
Согласно третьей теории прочности эквивалентное напряжение
эквIII 1 3 29,44 ( 149,44) 178,9 МПа .
Сравнение эквIII с пределом текучести т показывает, что материал
работает упруго, то есть
эквIII 178,9 МПа т 240 МПа ,
но условие прочности не выполнено:
эквIII 178,9 МПа 160 МПа .
Это означает, что не обеспечен нормативный коэффициент запаса прочности. Конструкцию, имеющую точку с такими напряжениями,