Posobie_ch_1

Рис. 1.3. К решению задачи № 1: а – схема нагрузки на стержень;

б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Поясним, что на первом и втором участках суммируем все силы, находящиеся слева от рассматриваемого сечения, на третьем участке

– силы, находящиеся справа от сечения.

Вычисляем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит от x. В начале второго участка

N (x2 0) R F2 ,

в конце второго участка

N (x2 l2 ) R F2 q2l2 .

Аналогично для третьего участка

N (x3 0) F1, N (x3 l3) F1 q1l3.

По полученным точкам строим эпюру N. На рис. 1.3, б эпюра N

12

построена для следующих исходных данных: l1 l3 1 м, l2 1,2 м;

F1 = 10 кН, F2 = 40 кН, q1 = 15 кН/м, q2 = 20 кН/м.

Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. 1.3, в). Для этого площади сечений на всех участках выразим через одну неизвестную величину A1 , используя заданное отношение площадей. Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются также и в местах изменения поперечного сечения.

Для подбора сечения по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении хрупкого материала много меньше, чем при его сжатии. Например, на эпюре , показанной на рис. 1.3, в, опасным является не только сечение в начале третьего участка ( x3 0) , где действуют максимальные сжимающие

напряжения, но и сечение в конце третьего участка ( x3 l3) с макси-

мальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис. 1.3, достаточно проверить прочность в

Из трех значений A1, найденных из условий прочности в опасных сечениях, выбираем то, которое удовлетворяет всем условиям (то есть максимальное их всех найденных значение A1 . Величину А2 находим по заданному соотношению: A2 A1 / 2.

Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравни-

14

пределенной по длине нагрузкой. Интенсивность распределенной нагрузки равна собственному весу, действующему на единицу длины стержня, т. е.

на первом и втором участках

q1 A1 1 A1,

на третьем участке

q2 A2 ,

где – объемный вес материала стержня.

Эпюры продольной силы и напряжений строим, используя метод сечений, аналогично тому, как это делали в задаче № 1. Заметим, что угол наклона эпюры продольной силы зависит от величины q и, следовательно, при построении эпюры N в масштабе угол ее наклона на первом и втором участке должен быть больше, чем на третьем участке, так как A1 по условию больше, чем A2 (рис. 1.4, б). Угол же наклона эпюры напряжений зависит от объемного веса , и поэтому угол наклона эпюры напряжений на всех участках одинаков (рис. 1.4, в).

Находим перемещение (опускание) сечения а–а. Это перемещение можно вычислять разными способами. По первому способу для определения перемещения используем формулу (1.4). Здесь F – сосредоточенная сила, вызывающая перемещение участка длиной l; G – собственный вес рассматриваемого участка. Эту формулу можно использовать на участках постоянного сечения между сосредоточенными силами. Отсчет надо вести от неподвижного сечения, т. е. заделки. Например, в рассматриваемой задаче перемещение сечения а– а складывается из удлинения участка длиной l1, которое мы обозначим l1, и удлинения участка длиной la – la. При определении удлинения l1 в формуле (1.4) сила F равна сумме F1, F2 и собственного веса всех расположенных ниже участков. Вес рассматриваемого участка стержня длиной l1: G A1l1. Таким образом, по (1.4)

l1 (F1 F2 A1l2 A2l3 A1l1 / 2)l1 .

EA1

Удлинение la происходит под действием сосредоточенной силы, состоящей из силы F2, веса участков стержня, расположенных ниже сечения а–а, и собственного веса участка G A1la . То есть

16

Решение

Знак минус показывает, что направление усилия в стержне 2 противоположно показанному на рис. 1.6, т. е. стержень 2 сжат.

Определим напряжения по (1.1) и выберем наиболее напряженный стержень (допустим, что в рассматриваемой задаче это будет стержень 1).

Из условия прочности этого стержня получим значение допускаемой нагрузки:

Найдем перемещение узла С, построив план перемещений (рис. 1.7). Предварительно найдем абсолютные деформации стержнейl1 и l2 по формуле (1.3). В рассматриваемой задаче растянутый

1. Для конструкции, имеющей жесткий стержень, рациональным уравнением равновесия, в которое входит одно неизвестное усилие, является уравне-

ние mA 0 , где А – шарнир, вокруг которого поворачивается жесткий стержень.

рис. 1.7). На пересечении дуг (перпендикуляров к направлениям стержней) находится новое положение узла C после деформации – точка C на рис. 1.7. Вертикальное и горизонтальное перемещение узла C допускается определять по масштабу, не делая сложных геометрических выкладок.

Примечание. Если конструкция имеет абсолютно жесткий стержень, то принцип построения плана перемещений тот же. Все точки абсолютно жесткого стержня могут перемещаться только по дугам (перпендикулярам к направлению стержня), поворачиваясь вокруг неподвижного шарнира. Например, если стержень АС на рис. 1.7 считать абсолютно жестким, то точка С переместится в положение C и горизонтальное перемещение узла С будет равно нулю.

18

1.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Основные определения

Статически неопределимая система – система, в которой ко-

личество неизвестных (опорных реакций, внутренних усилий) больше числа независимых уравнений статики, составляемых для рассматриваемой системы (конструкции). Таким образом, в статически неопределимой системе невозможно найти все неизвестные, пользуясь только уравнениями равновесия. Разность между количеством неизвестных и числом независимых уравнений статики называется степенью

статической неопределимости.

Конструкции, состоящие из стержней, соединенных шарнирами, называются шарнирно-стержневыми. В этих конструкциях есть стержни, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции и при удалении которых система превращается в механизм. Такие стержни будем называть необходимыми. Если же при удалении некоторых стержней геометрическая неизменяемость конструкции не нарушается, то такие стержни назовем лишними. В статически определимой системе есть только необходимые стержни, в статически неопределимой – число лишних стержней равно степени статической неопределимости.

Порядок определения всех неизвестных в статически неопределимых конструкциях (раскрытия статической неопределимости) следующий:

1)записываем необходимые для определения внутренних усилий и опорных реакций уравнения равновесия;

2)составляем уравнения совместности деформаций (геометрические уравнения). Количество уравнений совместности деформаций равно степени статической неопределимости;

3)записываем физические уравнения, связывающие усилия и деформации;

4)решая полученную систему уравнений, находим все неизвестные.

Если в качестве физических уравнений используется закон Гука,

20

стоянию сводится к следующему:

1) определяем, сколько стержней должно потечь, чтобы конструкция превратилась в механизм. Дальнейший расчет возможен по двум вариантам:

если в предельном состоянии текут все стержни системы, то, составляя уравнения равновесия конструкции в предельном состоянии, находим из него значение предельной нагрузки Fпред ;

если в предельном состоянии течет только часть стержней, то, не определяя порядка перехода стержней в пластическое состояние, рассматриваем все кинематически возможные варианты предельного состояния конструкции. Находим из уравнений равновесия предельную нагрузку для каждого варианта. Выбираем из всех вариантов ми-

нимальное значение предельной нагрузки Fпред Fmin ;

2) из условия прочности конструкции по предельному состоянию F Fпред / n либо вычисляем допускаемую нагрузку, либо под-

бираем сечения стержней.

Отметим, что расчет по предельному пластическому состоянию является более экономичным, чем расчет по упругой стадии деформаций. Поэтому при сравнении результатов расчета по двум способам должно получиться, что допускаемая нагрузка, найденная расчетом по предельному пластическому состоянию, всегда не меньше нагрузки, полученной расчетом по упругой стадии деформации. Соответственно площади сечений стержней, найденные расчетом по предельному состоянию, должны быть не больше площадей сечений, полученных расчетом по упругой стадии деформаций.