Posobie_ch_1

Главные напряжения, пронумерованные должным образом,

1 54,17 МПа , 2 14,53 МПа , 3 0 .

Тангенс угла наклона главной площадки

Отсюда два главных угла таковы:

гл 0,641рад k 2 36,7 k 90 (k 0;1) .

Соответствие угла гл главным площадкам (1 или 2) устанавли-

вается так же, как в задаче № 7. Главные направления 1 и 2 показаны на рис. 2.26. Проверку всех вычисленных значений можно выполнить, построив круг напряжений Мора. Построение описано при решении задачи № 7.

Материал является хрупким (чугун), поэтому прочность проверяем по второй теории прочности или по теории прочности Мора.

73

3. КРУЧЕНИЕ

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление мате-

риалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл.5 (§ 5.1–5.4), гл. 11 (§ 11.5);

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 6 (§ 27, 29–30, 32);

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 6 (§ 6.1–6.4, 6.6, 6.7).

Основные понятия и формулы

При кручении поперечные сечения стержня поворачиваются вокруг его продольной оси, а продольные волокна при этом искривляются, превращаясь в пространственные кривые. Кручение вызывается парами сил, действующими в плоскости поперечных сечений. В поперечных сечениях стержня возникает одно внутреннее усилие крутящий момент Мк.

Крутящие моменты в сечениях определяются, как и другие виды усилий, методом сечений. Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения,

относительно продольной оси стержня. Примем правило знаков для крутящего момента: его положительное направление соответствует повороту сечения по ходу часовой стрелки, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Правило знаков для крутящего момента

Напряженное состояние в любой точке поперечного сечения при кручении является чистым сдвигом, и в точках поперечного сечения возникают касательные напряжения.

Касательные напряжения при кручении стержня круглого сечения с радиусом R (или кольцевого сечения с внешним радиусом R)

Условие жесткости вала при кручении – это условие, ограничивающее деформации стержня, а именно:

, (3.18)

max

где [ ] – допускаемый погонный угол закручивания, величина которого нормируется.

Удовлетворяя этим двум условиям, можно либо подбирать размеры сечения, либо определять допускаемую нагрузку на стержень.

Примеры решения задач

3.1. ПОДБОР СЕЧЕНИЯ СОСТАВНОГО СТЕРЖНЯ (ВАЛА), РАБОТАЮЩЕГО НА КРУЧЕНИЕ (ЗАДАЧА № 10)

Условие задачи

Имеется стержень, расчетная схема которого представлена на рис. 3.5, а. Стержень нагружен внешними парами M1 , M 2 , M 3 . Левый участок стержня выполнен из чугуна и имеет прямоугольное сечение с заданным соотношением сторон hb ; правый участок выполнен из стали и имеет круглое сечение. Известны характеристики прочности материалов: вр ( св ) для чугуна и т для стали; упругие

постоянные материалов E , ; допускаемый погонный угол закручивания .

Требуется:

1)подобрать размеры поперечных сечений стержня так, чтобы выполнялись условия прочности и жесткости на каждом участке стержня;

2)построить эпюру изменения угла закручивания по длине стержня.

78

Решение

Строим эпюру крутящих моментов, используя метод сечений. Крутящий момент на каждом участке находим как алгебраическую сумму моментов внешних пар, расположенных справа от сечения. (В этом случае можно построить эпюру Мк без определения реактивного момента, возникающего в защемлении.) Крутящий момент на край-

Эпюра

Рис. 3.5. К решению задачи № 10: а – расчетная схема стержня;

б, в – эпюры крутящих моментов и углов закручивания

нем правом участке равен M 3 , на среднем M 3 M 2 и на левомM3 M 2 M1. Эпюра крутящих моментов показана на рис. 3.5, б.

Подбираем размеры сечения стержня из условия прочности. На чугунном участке стержня M к max M3 M 2 M1 и из условия прочности (3.13), определяя max по формуле (3.5), находим минимально необходимую величину момента сопротивления кручению:

второй теории прочности (3.14), либо по (3.15) – теории Мора.)

Для стального участка опасным является сечение, где действует максимальный крутящий момент, т. е. в данном примере M кmax M3 M 2 , и из условия прочности (3.13) находим требуемый

полярный момент сопротивления

W необх M к max ,

p

где [ ] определяем по теориям прочности, справедливым для пластичного материала (3.16) или (3.17). Зная Wpнеобх , ищем радиус по-

перечного сечения, используя формулу (3.8) для полярного момента сопротивления

Полученные размеры рекомендуем округлить в большую сторону до 0,1 мм.

Проверим, выполняется ли для найденных из условия прочности размеров поперечных сечений условие жесткости. Сосчитаем геометрические характеристики I p и Iк по формулам (3.8) и (3.10) и модули

сдвига чугуна и стали по (3.12). На чугунном участке стержня должно выполняться условие

M к max .

GIк

На стальном участке должно быть

M к max

GI p

.

Если условие жесткости на каком-то участке не выполняется, то следует увеличить размеры сечения. Из условия жесткости находим

80

минимально необходимую геометрическую характеристику жесткости для прямоугольного сечения:

и требуемый полярный момент инерции для круглого сечения

Зная I p и Iк , определяем по формулам (3.10) и (3.8) размеры поперечного сечения, удовлетворяющие условию жесткости

Окончательно размеры, удовлетворяющие двум условиям (и условию прочности, и условию жесткости), и соответствующие им геометрические характеристики сечений используем в дальнейших расчетах.

Построим эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях стержня (рис. 3.2 и 3.4), сосчитав значения напряжений по формуле (3.2) для круглого сечения и по формулам (3.5) , (3.6) для прямоугольного сечения. Заметим, что по найденным значениям напряжений можно проверить свои вычисления, а именно, если размеры сечения были определены из условия прочности, то значения максимальных касательных напряжений должны быть близки к допускаемым. Если же размер сечения находился из условия жесткости, то максимальные напряжения будут меньше допускаемых касательных напряжений.

Построим эпюру углов закручивания. Углы закручивания на каждом участке стержня вычисляются по формулам (3.3) или (3.7). При этом следует учитывать знак крутящего момента. Построение эпюры углов закручивания следует начинать, определив угол закручивания1–0 сечения 1–1 (рис. 3,5, а) по отношению к неподвижному сечению 0–0 (заделке). Например, в рассматриваемом примере

1 0 (M1 M 2 M 3 )l1 .

GIк