Posobie_ch_1

62

Специально обратим внимание на способ изображения опасных площадок: эти площадки показаны с привязкой к исходному элементу. Так необходимо сделать и при оформлении задачи.

Поскольку привязка исходного элемента к конструкции, из которой он вырезан, известна, примененный способ изображения площадок равносилен указанию опасных площадок непосредственно на конструкции.

Определение деформаций в точке. Деформации являются уп-

ругими и можно применять обобщенный закон Гука, так как вычисленные выше эквивалентные напряжения меньше предела текучести:

эквIV эквIII т .

Когда экв превышает т , закон Гука определяет упругую (об-

ратимую) часть полной деформации. В таком случае в задаче нужно вычислить лишь эту составляющую, отметив примечанием в тексте.

Линейные деформации в направлении осей x, y, z таковы:

63

Рис. 2.12, 2.13 иллюстрируют результаты вычислений. На этих рисунках dx , dz и d , d – размеры ребер элементов с гранями, перпендикулярными до деформации тела исходным и главным осям соответственно. В результате деформации элементы перемещаются как жесткое целое и деформируются. На рисунках жирной и пунктирной линиями изображены элементы после и до деформации соответственно. Перемещение элементов как жесткого целого не изображено.

Примечание. Рисунки, показывающие деформации элемента, выполняются в масштабе. Так как абсолютные деформации существенно меньше, чем длины граней, то для наглядности рисунков масштабы длин и удлинений выбираются разными.

66

Максимальное касательное напряжение (максимум вычисляется для всех возможных площадок, проведенных через точку) и соответствующее ему нормальное напряжение имеют величины

и действуют на площадке, перпендикулярной второй главной площадке и повернутой на угол в 45° к первой и третьей главным площадкам (рис. 2.17). Заметим особо, что теперь, в отличие от результата в задаче № 7, max max .

Круг напряжений для заданного плоского напряженного состоя-

3

Рис. 2.18. Круг Мора, изображающий заданное плоское напряженное состояние

ния показан на рис. 2.18. Координаты точки N дают значение напряжений на площадке с нормалью n. Площадке с max соответствует точка K круга.

эквI 1 0 р .

Видим, что первая теория прочности не годится для оценки прочности, так как она выдает в рассматриваемой ситуации неправдоподобный результат: при любом уровне напряжений прочность обеспечена.

Расчетное напряжение по второй теории прочности:

эквII 1 ( 2 3) 0 0,25( 50 120) 42,2 р 1803 60 МПа.

Прочность обеспечена с фактическим коэффициентом запаса

большем нормативного ( n 3).

Расчетное напряжение по теории прочности Мора,

Прочность обеспечена. Фактический коэффициент запаса таков:

68

2.3. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННОЙ ТРУБЫ, ПОДВЕРЖЕННОЙ ДЕЙСТВИЮ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ, ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ И КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА (ЗАДАЧА № 9)

Основные формулы

Рассматривается цилиндрическая труба наружным радиусом R, толщиной стенки (рис. 2.21). Отношение R / 10. Отношение длины l к радиусу l / R 5. Труба нагружена внутренним давлением q , по ее торцам приложены силы F и крутящие моменты M .

Рис. 2.21. Тонкостенная труба под действием внутреннего давления, продольной силы и крутящего момента

Напряжения в трубе обозначаем, используя местную декартову систему координат x, y, z: ось x параллельна оси трубы, ось z направлена по касательной к срединной линии поперечного сечения, осью y служит продолжение радиуса R.

Сила F вызывает в поперечном сечении трубы продольное усилие N F и создает нормальное напряжение (рис. 2.22)

69

x F . 2R

Здесь 2R – площадь поперечного сечения тонкостенной трубы.

Внутреннее давление вызывает растяжение трубы в кольцевом направлении (рис. 2.23), чему соответствует напряжение z в продольных сечениях трубы:

z qR .

Напряжения z положительны при q 0 . Случай q 0 отвечает давлению, приложенному к наружной поверхности.

Крутящий момент создает касательные напряжения (рис. 2.24):

Напряженное состояние элементарного параллелепипеда, вырезанного из трубы (рис. 2.25), является плоским. Анализ напряженного состояния выполняется так же, как в задаче № 7.

Условие задачи

Труба радиусом сечения R 0,5 м толщиной 1 см загружена

70

продольной растягивающей силой F 900 кН, внутренним давлением q 0,8 МПа и крутящим моментом M 300 кН м. Материал трубы –

0,25. Нормативный коэффициент запаса прочности n 3. Требуется:

1)найти напряжения на гранях элемента, выделенного из трубы;

2)найти главные напряжения и положения главных площадок;

3)проверить прочность и определить действительный коэффициент запаса прочности;

4)показать направление трещины, возникающей при повышении уровня напряженного состояния до критического.

В расчетно-графической работе студенту требуется, кроме того, вычислить напряжения по указанной наклонной площадке. Это задание выполняется так же, как в задаче № 7.

Решение

Начать решение задачи нужно с изображения трубы и действующих на нее сил. Рядом со стрелками указываются абсолютные значения сил. Знаки учитываются соответствующим направлением стрелок.

Проверим применимость к данной задаче формул для вычисления напряжений в тонкостенной трубе. Так как R / 50 /1 50 10 , то труба является тонкостенной. Следовательно, вышеприведенные

z qR 0,8 50 40 МПа

1

также положительно.

Касательное напряжение, вызванное моментом M 300 кН м ,