Posobie_ch_1

Решение

I. Определение напряжений от заданной нагрузки

Прежде всего надо убедиться, что заданная система является статически неопределимой. Найдем абсолютную деформацию стержня, показанного на рис. 1.8, предполагая сначала, что правая стенка отсутствует. Тогда, используя метод сечений, определим продольные силы на трех участках стержня:

на первом участке длиной a Na F ;

на втором и третьем участках Nb Nc 0 .

Полное удлинение стержня, равное в общем случаеl la lb lc , в данной задаче равно удлинению первого участ-

22

ка и, следовательно, по (1.3)

Если под действием нагрузки абсолютная деформация l стержня будет больше заданного зазора , то стержень упрется правым концом в стенку и возникнут опорные реакции как в левом защемлении ( RA ), так и в правом опорном закреплении ( RB ) (рис. 1.9, а). Для заданной системы можно составить только одно независимое уравнение статики x 0. Таким образом, две неизвестные опорные реакции нельзя найти из одного уравнения, и система в процессе деформации становится один раз статически неопределимой.

Рис. 1.9. К решению задачи № 4:

а– план сил от действия F,

б– эпюры продольной силы и напряжений от F

Для раскрытия статической неопределимости используем расчет по упругой стадии деформаций и запишем три группы уравнений:

Nc RB . Заметим, что при составлении уравнений равновесия отсе-

ченных частей стержня сделано предположение, что первая и вторая части стержня растянуты, а третья часть – сжата;

2) уравнение совместности деформаций, смысл которого в данной задаче очень простой: полная деформация стержня равна заданному зазору. При составлении уравнения совместности деформаций важно, чтобы знаки абсолютных деформаций соответствовали сде-

ланным предположениям о направлении усилий. В нашем примере

l la lb lc ;

Решив полученную систему уравнений, найдем продольные силы, а затем напряжения в разных частях стержня и построим эпюры их распределения по длине стержня (рис. 1.9, б). Если знак усилия после решения системы уравнений получился отрицательным, это означает, что сделанное предположение о направлении продольной силы не подтвердилось. В рассмотренной задаче отрицательным должно получиться усилие Nb , т. е. второй участок длиной b не растянут, а

сжат. Знаки N и на эпюрах ставим в соответствии с правилом знаков для продольной силы.

После определения напряжений производим проверку прочности по формулам (1.5) или (1.7) так же, как в статически определимой системе. Если условие прочности на каком-нибудь участке стержня не выполняется, измените значение F так, чтобы условие прочности соблюдалось.

II.Определение температурных напряжений

Найдем удлинение стержня от температурного воздействия lT и убедимся в том, что это удлинение больше заданного зазора .

.

Если lT > , то система является один раз статически неопределимой, раскрытие статической неопределимости производим по той

Рис. 1.10. К решению задачи № 4: а – план сил от действия T , б – эпюры продольной силы и напряжений от T

Укорочение стержня от действия продольных сил найдем, ис-

25

После решения полученной системы уравнений найдем усилия в обеих частях стержня. Полученный положительный знак должен подтвердить предположение о том, что стержень сжат. Строим эпюры продольной силы и напряжений (рис. 1.10, б) от температурного воздействия.

Проверяем прочность стержня и в случае невыполнения условия прочности на каком-нибудь участке находим новое значение T , при котором условие прочности будет соблюдаться на всех участках.

Задача состоит из трех частей:

Часть 1. Расчет по упругой стадии деформации. В зависимости от исходных данных, выписанных из таблицы и являющихся индиви-

26

дуальными для каждого студента, надо либо определить грузоподъемность конструкции, либо подобрать размеры поперечного сечения расчетом по допускаемым напряжениям.

Часть 2. Расчет по предельному пластическому состоянию. Требуется найти грузоподъемность (или подобрать сечения стержней) расчетом по предельному состоянию.

Часть 3. Определение дополнительных напряжений, связанных с изменением температуры на T или неточностью изготовления одного из стержней. Допустим, что в рассматриваемой задаче стержень 1 охлаждается ( T1 < 0), и найдем возникающие в стержнях конструкции температурные напряжения.

Решение

Прежде всего убедимся, что рассматриваемая конструкция является статически неопределимой. Сосчитаем число неизвестных: ими являются продольные силы в двух деформируемых стержнях и две опорные реакции в шарнирно неподвижной опоре в точке А. Таким образом, имеем 4 неизвестные, а число независимых уравнений статики для данной системы равно 3. Система является один раз стати-

этого рассечем стержни и, отбросив части стержней, заменим их внутренними усилиями – продольными силами N1 и N2 (рис. 1.12, а). Важно, чтобы на плане сил направления усилий соответствовали плану перемещений. Для того, чтобы выяснить как направлены продольные силы в стержнях, нарисуем приближенный план перемещений (рис. 1.12, б), пользуясь принципами, описанными при решении задачи № 3. Точки В и С жесткого диска поворачиваются с радиусами AB и АС вокруг неподвижной точки А на один и тот же угол и перемещаются по дугам, которые заменяем перпендикулярами BB и СС Для того, чтобы найти абсолютные деформации стержней, надо из

27

точек B и C (новые положения узлов В и С) опустить перпендикуляры на направления стержней. Как видно из рис. 1.12, б стержень 1 укорачивается на l1 (выделенный жирным отрезок), и поэтому на плане сил усилие N1 показано сжимающим. Стержень 2 согласно плану перемещений удлиняется на l2, и на рис. 1.12, а продольная сила

Теперь составим три уравнения равновесия:

x 0 ; H A N1 sin 0;

y 0 ; RA N2 N1 cos F 0;

mA 0; N1 cos a N2 a F a 0.

Запишем вторую группу уравнений – уравнения совместности деформаций. Поскольку данная система является один раз статически неопределимой, необходимо составить одно уравнение совместности деформаций. Это геометрическое уравнение, связывающее абсолютные деформации стержней, и его мы получим на основании плана пе-

Это уравнение показывает, во сколько раз абсолютное удлинение второго стержня больше абсолютного укорочения первого стержня. При построении плана перемещений в масштабе (что рекомендуется) результаты вычислений можно проверить по рисунку, измерив отрезки l1 и l2 и найдя их отношение.

Теперь надо связать деформации стержней с внутренними усилиями. Предполагая, что материал подчиняется закону Гука (расчет по упругой стадии деформаций), запишем третью группу уравнений

Мы получили полную систему уравнений для определения всех неизвестных ( N1, N2 , H A, RA). Как правило, нас интересуют только продольные силы в стержнях, поэтому из уравнений равновесия при решении системы используется только последнее уравнение, в которое не входят опорные реакции. Решая полученную систему уравнений, найдем внутренние усилия в стержнях:

29

стержня.

Заметим, что, как видно из полученных формул, усилия зависят не только от величины нагрузки и геометрических размеров конструкции, как в статически определимых системах, но и от отношения погонных жесткостей стержней. Эта важная закономерность справедлива для любой статически неопределимой конструкции и позволяет влиять на распределение усилий в стержнях без изменения ее геометрической схемы. Для принятых в данной задаче исходных данных по-

лучим N1 0,495F и N2 0,571F .

Определив внутренние усилия в стержнях, находим напряжения и выбираем наиболее напряженный стержень. Из условия прочности этого (наиболее напряженного) стержня либо определяем допускаемую нагрузку, либо подбираем размеры поперечных сечений стержней (заданное отношение площадей сечения необходимо сохранить).

пряженным является стержень 2. Из условия прочности этого стержня

max (2) 1,142F A1 [ ]

находим либо значение F, либо А1 (А2 по заданному отношению равно

А1/2).

Для проверки рекомендуем после определения допускаемой нагрузки (либо размеров площадей сечения) еще раз найти напряжения в стержнях и убедиться в том, что условие прочности выполняется в обоих стержнях.

Часть 2. Сделаем расчет конструкции по предельному пластическому состоянию. Поскольку заданная система является один раз статически неопределимой, то в предельном состоянии должны потечь два стержня, то есть все деформируемые стержни конструкции. Для определения предельной нагрузки нарисуем план сил в предельном состоянии (рис. 1.13). Направления усилий снова должны соответствовать плану перемещений. Составим одно уравнение равновесия в предельном состоянии (такое уравнение, в которое не входят неизвестные опорные реакции):

mA 0; т A1 cos a т A2 a Fпред a 0.

Из этого уравнения можно найти значение предельной нагрузки.

30

Для конкретных исходных данных, использованных в первой части

задачи, получим:

Fпред т A1 0,867 т A2 т A1 1,367 .

Предполагая, что в процессе деформации материал стержней остается упругим, расчет ведем по той же схеме, что и в первой части задачи, т. е. составляем три группы уравнений:

*уравнения совместности деформаций;

(рис. 1.14, б). План сил и план перемещений, как и раньше, должны соответствовать друг другу. Поясним особенности построения плана перемещений от температурного воздействия. Если бы конструкция была статически определимой, т. е. стержень 2 отсутствовал, то стер-

жень 1 при охлаждении уменьшил бы свою длину на величину l1T ,