Posobie_ch_1

Решая эту систему уравнений, найдем усилия в стержнях системы, а далее по формуле (1.1) температурные напряжения. Заметим, что отрицательный знак T используется только при построении плана перемещений (стержень укорачивается от действия температуры), при решении системы уравнений величину T следует принять положительной.

Примечание. Определение монтажных напряжений, связанных с неточностью изготовления одного из стержней i , производится так

же, как температурных напряжений. Например, если в рассмотренном примере стержень 1 будет изготовлен короче, чем требуется, на величину 1 (эта величина в таблице исходных данных [4] задана отрицательной), то при сборке конструкции стержень 1 надо будет растянуть и при этом стержень 2 тоже растянется. На плане перемещений отре-

зок l1T заменим на 1 и решение задачи будет справедливо, если в

полученной системе уравнений всюду заменить l1T на заданную величину 1 .(Отрицательный знак 1 при решении системы уравнений не учитывается.)

1.2.3. Определение грузоподъемности статически неопределимой шарнирно-стержневой конструкции (задача № 6)

Условие задачи

Имеется шарнирно-стержневая система, состоящая из трех деформируемых стержней, загруженная силой F (рис. 1.15). Заданы: геометрические характеристики системы ( a , , ); площади попе-

речных сечений стержней A1 A, A2 2A, A3 0,5A; материал кон-

33

струкции пластичный. Требуется4:

1) определить грузоподъемность системы тремя способами:

* ь заголовка: <S>.Применен ст

расчетом по упругой стадии деформаций;

ной разгрузке из положения предельного равновесия.

Решение

I. Определение грузоподъемности системы расчетом по упругой стадии деформаций

Найдем степень статической неопределимости системы. В данной конструкции имеем три неизвестные продольные силы в стержнях. Число уравнений статики, которые можно составить для системы сил, сходящихся в одной точке, равно двум. Таким образом, число неизвестных больше числа уравнений равновесия на единицу, и система является один раз статически неопределимой. Можно определить степень статической неопределимости и по-другому. Шарнир C (модель которого точка) для неподвижного закрепления на плоскости требует наложения двух линейных связей. Такими необходимыми связями являются любые два стержня из имеющихся трех стержней системы. Следовательно, оставшийся третий стержень становится

4 При решении этой задачи студенты заочной формы обучения выполняют только расчет по предельному пластическому состоянию. Остальные студенты решают задачу № 6 в соответствии с требованием преподавателя. Пункт 2, отмеченный значком *, не является обязательным и выполняется по желанию студента.

Построив второй план перемещений в предположении, что

2. Уравнения равновесия. Составим их на основании плана сил. Нарисуем план сил, вырезав узел C и заменив отброшенные части стержней внутренними усилиями, причем направления усилий покажем в соответствии с планом перемещений растягивающими (рис. 1.17). Запишем два независимых уравнения статики. Для данной системы таковыми являются:

x 0 ; N1 N2 cos N3 sin 0;

y 0 ; F N2 sin N3 cos 0.

3.Физические соотношения. Поскольку расчет ведется по упру-

гой стадии деформаций, то материал конструкции подчиняется закону Гука (1.3) и для каждого стержня записываем физические уравнения:

36

предположение о том, что эти стержни растянуты.

Для проверки прочности конструкции определим напряжения в стержнях системы:

При расчете по упругой стадии деформации считаем, что предельное состояние конструкции наступит тогда, когда потечет один, наиболее напряженный, стержень. Поскольку пластичный материал имеет одинаковые пределы текучести при сжатии и растяжении, то знак напряжения не имеет значения и первым потечет стержень, в сечении которого возникают наибольшие по модулю напряжения. В данном случае это третий стержень. Из условия его текучести находим предельную нагрузку:

а из условия прочности допускаемую нагрузку на конструкцию:

Отметим, что при расчете по упругой стадии деформаций нагрузка и напряжения на всем участке деформирования связаны прямой пропорциональной зависимостью, а потому коэффициенты запа-

37

са по напряжениям и по нагрузке равны между собой.

II. Определение предельной грузоподъемности системы расчетом по упругопластической стадии

Проследим за дальнейшим развитием процесса нагружения – деформирования системы после того, как напряжения в третьем стержне достигли предела текучести. Примем, что материал конст-

изменения связаны с перераспределением нагрузки только на упругие стержни, обеспечивающие неизменяемость системы в этой стадии ее работы.

Поскольку усилие в стержне 3 уже известно, задача становится статически определимой и усилия в стержнях 1 и 2 находим из уравнений равновесия узла C (план сил на рис. 1.19):

x 0 ; N1 N2 cos т A3 sin 0;

y 0 ; N2 sin т A3 cos F 0.

Решение этой системы уравнений при 45 , 30:

стержень потечет раньше второго. Нагрузка, при которой будут течь два стержня (3 и 1), и есть предельная нагрузка для всей конструкции

Fпредпл 1,683т A.

Заметим, что в предельном состоянии напряжения в первом и третьем стержнях достигли предела текучести. При этом первый стержень потек вслед за третьим, хотя к концу упругой стадии напряжения в нем были меньше, чем во втором стержне. Зависимость между напряжениями и нагрузкой с начала деформирования в упругопластической стадии уже не является линейной, а потому одинаковым коэффициентам запаса по нагрузке и по напряжениям в наиболее напряженном упругом стержне будут соответствовать различные значения допускаемой нагрузки. Так, в нашем случае допускаемая нагрузка с коэффициентом запаса n 1,5 по напряжениям определяется из условия

Если же исходить из коэффициента запаса n 1,5 по нагрузке, то

39

Очевидно, что расчет по допускаемой нагрузке приводит к повышенному запасу прочности в отдельных стержнях системы, а расчет по допускаемым напряжениям не обеспечивает заданного коэффициента запаса по нагрузке. Поэтому значение допускаемой нагруз-

Следует отметить, что современными строительными нормами проектирования предусматривается раздельное применение коэффициентов надежности по нагрузке и по материалу. Условие прочности в этом случае приняло бы вид

F 1,683 т ,

A

где и коэффициенты надежности (запаса) по нагрузке и по материалу соответственно.

III. Определение предельной грузоподъемности системы расчетом по предельному пластическому состоянию

Заданная система имеет три деформируемых стержня, один из которых является лишним, так как система один раз статически неопределима. В предельном состоянии, когда конструкция превращается в механизм, должны потечь два стержня (один лишний и один необходимый). В рассмотренных ранее способах решения этой задачи рассматривался порядок перехода материала стержней в пластическую стадию работы, было выяснено, какой стержень потечет первым, какой – вторым. При этом конструкция сначала работает в упругой стадии (материал всех стержней подчиняется закону Гука), затем переходит в упругопластическую стадию работы. Решение вопроса о предельной нагрузке на конструкцию, при которой последняя переходит в механизм, может быть получено и без рассмотрения упругой и упругопластической стадий работы конструкции. Для этого достаточно исследовать равновесие системы в момент перехода в предельное пластическое состояние, т. е. в так называемое предельное равновесие. Сложность состоит в том, что конкретный механизм перехода системы в предельное пластическое состояние заранее неизвестен.

40

Поэтому приходится рассматривать все кинематически возможные варианты перехода к предельному равновесию и для каждого из них вычислять предельную нагрузку. Фактически будет иметь место тот вариант предельного состояния, которому соответствует минимальное значение предельной нагрузки.

Вданной задаче возможны три варианта предельного равновесия конструкции: 1) текут стержни 1 и 3; 2) текут стержни 2 и 3 и, наконец, 3) текут стержни 2 и 1.

Вкачестве примера рассмотрим два варианта предельного пла-

стического состояния в нашей задаче. Согласно первому варианту допустим, что напряжения в стержнях 1 и 3 равны т , а стержень 2

работает упруго. Для определения направления усилий в стержнях 1 и 3 построим план перемещений, используя те же правила построения плана перемещений, которые описаны при решении задач № 3 и 5. Поскольку упругие деформации стержня 2 много меньше пластических деформаций стержней 1 и 3, то при построении плана перемещений стержень 2 можно считать абсолютно жестким. Под действием нагрузки жесткий стержень 2 повернется вокруг шарнира А, и этот поворот вызовет укорочение стержня 1 на l1 и удлинение стержня 3 на l3 (рис. 1.20, а). Соответствующий плану перемещений план сил

Рис. 1.20. Вариант 1 предельного пластического состояния:

а– план перемещений;

б– план сил