2. Дифференциальные уравнения движения системы

Пусть известны внутренние и внешние силы, действующие на систему, состоящую из n точек. В каждой точке системы заменим действие внешних сил равнодействующей , а действие внутренних сил равнодействующей (рис. 13). Тогда для произвольнойk–й точки системы дифференциальное уравнение движения в векторной форме на основании формулы (2.2) примет вид

;.(4.3)

Систему n дифференциальных уравнений (4.3) называют дифференциальными уравнениями движения механической системы в векторной форме.

Если спроектировать систему векторных дифференциальных уравнений (4.3) на прямоугольные декартовы оси координат, то получим систему 3n дифференциальных уравнений, описывающих движение точек механической системы.

Для нахождения движения механической системы по заданным силам и начальным условиям нужно проинтегрировать систему 3n дифференциальных уравнений. Эту задачу в общем виде не удается точно решить даже для одной точки. Она исключительно сложна в случае двух материальных точек и неразрешима для системы трех взаимодействующих точек.

В некоторых случаях из дифференциальных уравнений движения системы можно получить первые интегралы соотношения, в которые не входят производные второго порядка от координат по времени.

Если известны первые интегралы, то задача интегрирования системы дифференциальных уравнений упрощается. Первые интегралы не всегда могут полностью описать движения всех точек системы, но характеризуют важные стороны движения системы в целом.

Первые интегралы удобно получать из так называемых общих теорем динамики. Общие теоремы являются следствиями системы дифференциальных уравнений движения точки или соответственно системы точек. Даже когда из общих теорем нельзя определить первые интегралы, они дают ценную информацию о движении точки или системы.

3. Теорема об изменении количества движения для точки и системы

3.1. Количество движения для точки и системы

Одной из векторных мер движения точки и механической системы является вектор их количества движения. Рассмотрим эти понятия.

Количество движения материальной точки – это вектор равный произведению массы точкина ее скорость. Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.

Рассмотрим материальную точку массой , движущуюся по произвольной траектории со скоростью(рис. 13)

Рис. 13. Количество движения материальной точки

Вектор количества движения материальной точки (рис. 13) определяется по формуле

. (4.4)

Проекции вектора количества движения точки на оси декартовой системы координат определяются формулами

,

, (4.4^/)

.

Количеством движения механической системы называют вектор равный векторной сумме количеств движения всех точек рассматриваемой системы.

Пусть механическая система состоит из n точек массой и имеющих скорости. Тогда вектор количества движения этой системы определяется по формуле

. (4.5)

В проекциях на оси декартовой системы координат получим

,

, (4.5^/)

.

Вектор количества движения материальной точки приложен к движущейся точке и направлен так же, как и вектор ее скорости (рис. 13). Вектор количества движения системысчитается свободным вектором, то есть вектором не имеющим точки приложения.

Количество движения механической системы можно выразить через массу системы и скорость ее центра масспо формуле

. (4.6)

Проецируя это выражение на оси декартовой системы координат, получим

,

, (4.6^/)

,

где ,,– координаты центра масс системы.

В Международной системе единиц (СИ) количество движения измеряется в кг · м / с или Н · с.

.