4.2. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

При поступательном движении твердого тела ускорения всех его точек одинаковы по величине и направлению, то есть

,

где – ускорение произвольной точки тела,

–ускорение центра масс твердого тела.

Учитывая это из теоремы о движении центра масс (4.16) и (4.16^/), получим дифференциальные уравнения поступательного движения тела в векторной и координатной форме:

, (4.17)

,

, (4.17^/)

,

где ,,– координаты произвольной точки твердого тела, в частности, это могут быть координаты его центра масс.

5. Теорема об изменении кинетического момента для точки и системы

5.1. Кинетический момент точки и системы

В качестве векторной меры движения часто используют понятие кинетического момента или момента количества движения. Введем это понятие.

Кинетический момент материальной точки M относительно центра O – это векторное произведение радиус-вектора этой точки на вектор ее количества движения.

Рассмотрим это понятие.

Пусть материальная точка M массой m, движется со скоростью , под действием силыв системе координатOxyz, где ее положение относительно начала координат O определяется радиусом вектором (рис. 14).

Вектор кинетического момента точки M относительно произвольного центра O определяется по формуле

. (4.18)

Направление вектора кинетического момента определяется по правилу векторного произведения.

Если центр O является центром системы координат Oxyz, то, проецируя (4.18) на оси, получим выражения для кинетических моментов точки M относительно осей Ox, Oy и Oz:

,

, (4.18^/)

,

где - масса материальной точки,

- координаты движущейся точки,

- проекции вектора скорости на оси координат.

Введем понятие кинетического момента механической системы. Рассмотрим механическую систему, состоящую из n точек, движущуюся по отношению к инерциальной системе координат Oxyz. Выделим произвольную точку M_k с координатами x_k,y_k,z_k, массой m_k и движущуюся со скоростью (рис. 15). Радиус-вектор этой точки обозначим.

Рис. 15. Кинетический момент системы

Кинетическим моментом механической системы относительно какого-либо центра называется векторная сумма кинетических моментов всех точек этой системы относительно этого же центра.

Таким образом, кинетический момент системы относительно произвольного центра O определяется по формуле

(4.19)

Если центр O начало системы координат, то, учитывая выражения (4.18^/), получим выражения для кинетических моментов системы относительно координатных осей Ox, Oy и Oz:

,

, (4.19^/)

,

где ,,- координаты движущейся точки системы,

- проекция вектора скорости точки на осьOx,

- проекция вектора скорости точки на осьOy,

- проекция вектора скорости точки на осьOz.

5.2. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 16).

Выделим произвольную точку M_k с координатами x_k, y_k, z_k, движущуюся со скоростью . Очевидно, что траектория движения точки M_k – это окружность радиусом , с центромO^/ на оси вращения.

Рис. 16. Кинетический момент вращающегося твердого

тела относительно оси вращения

По третьей формуле (4.18^/) определим кинетический момент рассматриваемой точки относительно оси Oz:

(А)

где m_k – масса рассматриваемой материальной точки.

Из геометрических соображений, получим

,

,

(B)

,

.

Подставляя (В) в (А), получим

.

Учитывая основное тригонометрическое тождество, получим

.

Из кинематики твердого тела известно, что

.

Окончательно для кинетического момента точки M_k получим

.

Суммируя, по всем точкам, получим выражение для определения кинетического момента твердого тела относительно оси вращения Oz

.

По формуле(3.4) имеем - момент инерции тела относительно осиOz.

Окончательно для кинетического момента твердого тела относительно оси его вращения, получим

. (4.20)

Таким образом, кинетический момент вращающегося твердого тела относительно его оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость тела.

Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения является алгебраической величиной. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Знак совпадает со знаком угловой скорости. Если вращение твердого тела происходит против часовой стрелки, то кинетический момент считается положительным, если по часовой стрелке – отрицательным.