6.4. Работа внутренних сил твердого тела

Рассмотрим две точки твердого тела М₁ и М₂ взаимодействующие между собой с силами и. Пусть точки движутся со скоростямии, направленными под угламиик векторам силисоответственно (рис. 26).

Рис. 26. Внутренние силы твердого тела

Так как внутренние силы иявляются силами действия и противодействия, очевидно

,

.

Составим выражение для суммы элементарных работ сил и, получим

.

Из геометрических соображений получим

,

.

Тогда,

,

.

Из кинематики твердого тела известна теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на линию их соединяющую, согласно этой теореме, имеем

.

Тогда .

Из приведенных выражений следует, что

.

Суммируя элементарные работы для всех внутренних сил, действующих на твердое тело, окончательно получим

. (4.57)

Аналогичное выражение получится и для суммы полных работ всех внутренних сил, на любом конечном перемещении и для суммы мощностей всех внутренних сил:

, (4.58)

. (4.59)

Таким образом, сумма работ всех внутренних сил, действующих на твердое тело, и сумма мощностей всех внутренних сил равны нулю. Это свойство внутренних сил системы широко используется при решении задач.

Обратим внимание, что для каждой внутренней силы в общем случае движения, и работа, и мощность нулю не равны.

Данное утверждение справедливо только для абсолютно твердых тел или для механических систем, состоящих из абсолютно твердых тел и нитей, которые считаются абсолютно гибкими и нерастяжимыми.

6.5. Кинетическая энергия

6.5.1. Кинетическая энергия материальной точки и системы

Кинетической энергией материальной точки называется половина произведения массы материальной точки на квадрат ее скорости:

.

Кинетическая энергия механической системы – это сумма кинетических энергий всех точек механической системы:

. (4.60)

В системе единиц измерения СИ кинетическая энергия измеряется в джоулях:

Дж.

6.5.2. Кинетическая энергия твердого тела

Получим формулы для определения кинетической энергии твердого тела при различных типах его движения.

6.5.2.1. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении

Из кинематики твердого тела известно, что при поступательном движении твердого тела скорости всех его точек одинаковы по величине и направлению.

По формуле (4.60), получим

,

, (4.61)

где - кинетическая энергия твердого тела,

- масса твердого тела,

- скорость произвольной точки твердого тела.

Таким образом, кинетическая энергия твёрдого тела при поступательном движении определяется так же, как и кинетическая энергия материальной точки, масса которой равна массе всего тела, а скорость равна скорости тела.

6.5.2.2. Кинетическая энергия твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной вертикальной оси Оz c угловой скоростью (рис. 17). Выделим произвольную точку твёрдого тела, траектория движения которой является окружность с центром на оси вращения. Скорость этой точкинаправлена по касательной к траектории и определяется по формуле

,

где - радиус вращения точкиотносительно осиОz.

Используя формулу (4.60), получим

,

где - момент инерции твердого тела относительно оси вращения.

Окончательно получим

. (4.62)

Таким образом, кинетическая энергия твёрдого тела при вращении вокруг неподвижной оси – это половина произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Очевидно, что формулы (4.61) и (4.62) подобны. При вращательном движении аналогом массы является момент инерции относительно оси вращения, а аналогом скорости – угловая скорость тела.