- •Введение.
- •Постановка начальной задачи.
- •Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы.
- •Доказательство эквивалентности систем (8) и (26).
- •Доказательство существования решения задачи Коши
- •Постановка задачи численного расчёта.
- •Дискретизация исходной задачи и её решение итерациями.
- •Программа и её описание. Результаты вычислений.
- •Заключение.
- •Литература
- •Оглавление
Введение.
Разработано несколько разных методов для исследования разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Например, всем известный классический метод характеристик, метод Галеркина, метод потоков. Как и любой метод, каждый из них имеет свои преимущества и свои недостатки. Нельзя выделить какой-либо метод, позволяющий решать любые дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Каждый из известных методов хорошо применим только к определенному классу уравнений. Если, например, обратиться к тому же самому методу характеристик, то оказывается, что он с успехом применяется лишь в случае, когда коэффициенты перед производными не содержат неизвестных функций. А для систем квазилинейных дифференциальных уравнений или решения нелинейных дифференциальных уравнений реально его применять довольно сложно. В первую очередь, это связано с тем, что при применении метода характеристик для таких уравнений в соответствующем интегральном уравнении появляется суперпозиция неизвестных функций. В последнее время широкое развитие получил, в частности, метод дополнительного аргумента. Он позволяет свести решение исходной задачи к интегральному уравнению или системе интегральных уравнений. В этом уравнении неизвестная функция зависит от трех независимых переменных, но сами уравнения достаточно простые по своей структуре. Для них достаточно просто доказать существование дифференцируемого решения, исследовать качественные свойства решения, а также построить численное решение. В частности, для этого можно использовать метод последовательных приближений. Сущность метода дополнительного аргумента, его применение к решению нелинейных дифференциальных уравнений рассматриваются далее.
Постановка начальной задачи.
В области ирассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение:
И пусть задано следующее начальное условие
Продифференцируем данное уравнение по х:
Обозначим Тогда уравнение (3) перепишется в виде:
Исходное уравнение (1) в наших новых обозначениях перепишется так:
Преобразуем его так:
Запишем характеристическую систему для уравнения (1) относительно неизвестных функций :
Таким образом, нелинейное уравнение (1) м свели к системе из двух квазилинейных уравнений (8). С учётом (2) зададим начальное условие для функции :
Покажем, что функция , определяемая системой уравнений (8) и начальными условиями (2) и (9), будет являться искомым решением уравнения (1) с начальным условием (2). Для этого достаточно показать, что
Продифференцируем первое уравнение системы по x:
(10)
Вычтем из получившегося равенства второе уравнение системы:
(11)
Обозначим через , тогда из равенство (11) перепишется в виде:
или:
При всех и функция ограничена. Кроме того,
.
Значит, можно определить константу , что при. А это и означает, что , а значит функция , определяемая системой уравнений (8) и начальными условиями (2) и (9), будет являться искомым решением уравнения (1) с начальным условием (2), что и требовалось доказать.
Применение метода дополнительного аргумента к решению характеристической системы.
Применяя метод характеристик к обоим уравнениям системы (8), получим следующую систему из трёх уравнений:
(13)
Исследуем начальную задачу (8), (2), (9) при помощи метода дополнительного аргумента. Введём следующие обозначения:
То есть рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций :
(14)
Второе уравнение системы (14) можно рассматривать как линейное неоднородное уравнение первого порядка относительно функции , которая зависит от. Тогда методом Эйлера (метод интегрирующего множителя) можно найти:
Далее, будем искать такое решение системы, которое при перейдёт в точку, то есть
Также будем учитывать и другие начальные условия:
(17)
Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница из первого уравнения системы (14) получим следующее интегральное уравнение:
=(18)
Из условия (15) , поэтому уравнение (18) можно переписать в виде:
=(19)
Из второго уравнения системы (14) аналогично получим следующее интегральное уравнение:
(20)
Из (17) , а из (19) приполучим=, а значити уравнение (20) перепишется в виде:
(21)
Снова используя формулу Ньютона-Лейбница, получим =и. Поэтому (21) можно переписать так:
(22)
Совершенно аналогично переходим от третьего уравнения системы (14) к уравнению (23):
(23)
Из (23) вытекает, что
Аналогично из (22):
Итак, мы перешли к следующей системе из двух уравнений: