Доказательство эквивалентности систем (8) и (26).

Покажем, что если решением системы уравнений (26) являются непрерывно-дифференцируемые и ограниченные вместе со своими первыми производными функции и, то функции, будут решением задачи Коши (8), (2), (9) пригде.

Продифференцируем (22) по :

Умножим второе равенство на :

Получившееся равенство сложим с первым:

Обозначим через , а черезтогда последнее равенство перепишется в виде:

Аналогично продифференцируем (23) по :

Умножим второе равенство на :

Сложим получившееся равенство с первым:

Последнее равенство с учётом обозначений ,перепишем в виде:

Итак, получили два уравнения от двух неизвестных функций и:

Обозначим через:

Тогда из (27) и (28):

Или:

Меняя порядок интегрирования, будем иметь:

Обозначим через , тогда для всех

Обозначим через , тогда:

Складывая, получаем:

Обозначим через . Очевидно, что для любого

Обозначим через значениеt, при котором . Тогда для любыхt из промежутка , то есть , следовательно, что для любоговыполняются тождества:

Подставим функции :

С учётом равенств (29) и (24), получим тождество:

Аналогично для второго уравнения системы:

Учитывая (30) и (25), получим тождество:

Проверим, что функции удовлетворяют начальным условиям (2) и (9). Для этого подставим в (26).

В результате приходим к равенствам:

которые подтверждают, что решение системы (26) удовлетворяет начальным условиям (2), (9).

Итак, мы доказали, что решение задачи (8), (2), (9) даёт решение системы (26), и наоборот, непрерывно дифференцируемое решение системы (26) при ) будет решением задачи (8), (2), (9). То есть эквивалентность двух систем показана.

Доказательство существования решения задачи Коши

Осталось доказать существование ограниченного непрерывно дифференцируемого решения системы уравнений (26), тем самым будет доказано существование классического решения задачи Коши (1), (2).

Введём некоторые обозначения и определения.

Будем обозначать ) и– пространства функций определённых и непрерывных (соответственно со своими производными до порядкапому аргументу,) на некотором подмножествеевклидова пространства,.

Введём следующие обозначения:

где – произвольно зафиксированное положительное число,

Также будем пользоваться ранее введённым обозначением:

Для произвольной функции имы положим:

Лемма 1. Пусть ,причемиподобраны таким образом, что выполняются неравенства

Пусть, далее – положительный корень уравнения

где - любое число из интервала (0,)

и для любого

где

Тогда при система уравнений (26) имеет единственное решение.

Доказательство.

Будем доказывать существование решения системы уравнений (26) методом последовательных приближений. Положим:

и будем строить последовательности функций

таким образом, что для всех

или

В силу (31), (32) из (34) и (33) все ,будут ограничены:

Будем доказывать, что последовательные приближения сходятся. Найдём разность:

Заметим, что функция имеет ограниченные производные на, поскольку, а

следовательно, удовлетворяет условию Липшица с константой:

||=|

где , а значит

|

Аналогично для функции ,,:

.

Из этого равенства выводим, что

||

||

||

Из двух последних слагаемых (36):

С учётом этих равенств получим из (36)

То есть:

Аналогично из (35):

Сложим последние равенства (37) и (38):

где

Рассмотрим вектор . Будем доказывать, что последовательные приближениясходятся по норме к вектору. За норму вектораположим сумму норми:

Тогда с учётом введённых обозначений равенство (39) перепишется в виде:

Пусть - положительный корень уравнения. Тогда при любомрядсходится к вектору. Именно, мы можем представитьв виде суммы:

Ряд

мажорируется сходящимся (так как рядом

(здесь взято .

Это означает, что его частичная сумма сходится к вектору по норме.

А это и означает, что ряды итакже сходятся соответственно к функциямипо норме. Перейдя к пределу в равенствах (33) и (34), получим, что функциии, будут удовлетворять системе (26).

Единственность следует из того факта, что для разности двух возможных решений системы (26) будет выполняться неравенство вида

где.

Лемма 2. При выполнении условий леммы 1 ,.

Доказательство.

Согласно (25) функция

непрерывна и ограничена в (так как она получается из известных непрерывных и ограниченных функций с помощью конечного числа арифметических операций и композиций).

С учётом этого функция

также непрерывна и ограничена в .

Чтобы доказать существование, непрерывность и ограниченность частных производных функций ипродифференцируем посоотношения, определяющие соответствующие последовательные приближения:

С учетом того, что

|

|

||

||

|

||

|

||

|

получаем:

Приводя подобные, получаем:

Аналогично для функции :

Складывая получившиеся равенства, получаем:

Вспоминая, что

а также, что

получаем:

Обозначая за

Снова введём в рассмотрение вектор . За его норму положим сумму норми

Тогда получаем:

При имеем

Далее, так как , а,, то, поэтому

Пользуясь формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, будем иметь:

А это означает, что последовательность ограничена по норме. Следовательно, ограничены по норме и последовательностии.

Чтобы несколько облегчить доказательство её сходимости, рассмотрим вначале линейные интегральные уравнения относительно неизвестных функций ии рассмотрим вектор

где

где

С помощью метода последовательных приближений доказывается, что уравнения (39) и (40) имеют решения, принадлежащие пространству .

Из равенств (42) и (43):

где

Аналогично из равенств (41) и (44):

В силу сходимости и ограниченностиипри всехдля любогоможно определить такой номер, что для всехбудет:

Переходя к норме в неравенствах (45) и (46), получаем

Складывая получившиеся неравенства и вспоминая, что

получаем, что для всех будет выполняться неравенство:

При имеем, поэтому из предыдущего неравенства вытекает:

Таким образом, для любого будет выполняться неравенство:

В силу того, что для любого числаможно определить такой номер, что для всехбудет

Этим самым мы доказали, что последовательность при, а значит и последовательностиисходятся соответственно к функциями.

Точно также доказывается сходимость последовательностей ик некоторым функциями:

Складывая получившиеся неравенства, получаем:

Обозначим

Тогда неравенство перепишется в виде:

То есть

При имеем

Далее, так как , а,, то, поэтому

Обозначим

Тогда неравенство перепишется в виде:

Увеличивая число , получаем:

Пользуясь формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, будем иметь:

А это означает, что последовательность ограничена по норме. Следовательно, ограничены по норме и последовательностии.

Чтобы несколько облегчить доказательство её сходимости, рассмотрим вначале линейное интегральное уравнение относительно неизвестных функций ии рассмотрим вектор

где

где

Аналогично для последовательности :

где

В силу сходимости и ограниченностиипри всехдля любогоможно определить такой номер, что для всехбудет:

Переходя к норме в неравенствах (45) и (46), получаем

Складывая получившиеся неравенства и вспоминая, что

получаем, что для всех будет выполняться неравенство:

При имеем, поэтому из предыдущего неравенства вытекает:

Таким образом, для любого будет выполняться неравенство:

В силу того, что для любого числаможно определить такой номер, что для всехбудет

Этим самым мы доказали, что последовательность при, а значит и последовательностиисходятся соответственно к функциями.

В результате для последовательностей {} и {} установлены следующие свойства:

Имеем: последовательность , при любомсходится по норме этого пространства. В силу полноты и замкнутости пространстваимеем, что, а значит, обладает частными производными по, причём

Аналогично , а значит

Таким образом, лемма 2 доказана.

На основе этих двух лемм и всего вышеизложенного, можно сформулировать общую теорему:

Теорема 1. Пусть на области изадано нелинейное дифференциальное уравнение:

И пусть задано следующее начальное условие

Если:

1. Функция непрерывна, ограничена, дважды непрерывно дифференцируема по переменными все вторые, а также смешанные производные удовлетворяют по этим переменным условию Липшица и ограничены при всех значениях аргументов.

2. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на, а её вторая производная ограничена и удовлетворяет условию Липшица.

Тогда существует такая константа , что призадача (1) – (2) имеет единственное непрерывное и ограниченное вместе со своими первыми производными решение, которое совпадает прис функцией, определяемой из системы интегральных уравнений (26).