2.2. Вторая аксиома динамики

Вторая аксиома динамики является выражением второго закона Ньютона и устанавливает связь между ускорением материальной точки, ее массой и силой, действующей на эту точку.

Ускорение, сообщаемое материальной точке относительно инерциальной системы отсчета, пропорционально действующей на точку силе, направлено по этой силе и обратно пропорционально массе точки.

Математическая формулировка этой аксиомы имеет вид

, (1.1)

где – масса материальной точки,

–коэффициент пропорциональности,

–ускорение материальной точки,

–сила, действующая на материальную точку.

Соответствующим выбором единиц массы, ускорения и силы коэффициент пропорциональности можно сделать равным единице, тогда получим

или

. (1.2)

В формуле (1.2) коэффициент пропорциональности называютинертной массой материальной точки. Масса материальной точки – это физическая характеристика, являющаяся выражением и мерой инерционных и гравитационных свойств точки.

Массу точки определяют по ускорению, которое она получает под действием заранее известной силы, например такой силой является сила тяжести G:

. (1.3)

Масса, определенная по формуле (1.3), называется гравитационной. Известно, что инертная и гравитационная массы эквивалентны.

2.3. Третья аксиома динамики

Третья аксиома динамики является выражением третьего закона Ньютона и устанавливает связь между силами взаимодействия двух материальных точек (рис. 1). Третью аксиому можно сформулировать следующим образом: силы взаимодействия двух материальных точек всегда действуют по одной прямой, противоположно направлены и численно равны между собой.

Математически эта аксиома имеет следующий вид:

, (1.4)

где - сила приложенная в точке А₁ и выражающая действие точки А₂,

- сила приложенная в точке А₂ и выражающая действие точки А₁.

Рис. 1. Силы взаимодействия двух материальных точек

2.4. Четвертая аксиома динамики

Четвертая аксиома динамики о независимости действия нескольких сил, приложенных к одной материальной точке, формулируется следующим образом: материальная точка, находящаяся под действием нескольких сил, приобретает ускорение, равное геометрической сумме тех ускорений, которые она получила бы от каждой силы, действующей отдельно, независимо от других.

Рассмотрим эту аксиому. Пусть на материальную точку массой действуют система сил. Под действием каждой из этих сил, точка получает ускорения.

Применяя вторую аксиому (1.2), получим

,, … ,.

Согласно сформулированной четвертой аксиоме ускорение , получаемое точкой под действием системы сил, определяется по формуле

.

Умножая последнее равенство на массу точки, получим

;

Применяя к этому уравнению вторую аксиому (1.2), получим

,(1.5)

где – геометрическая сумма всех сил, действующих на материальную точку (равнодействующая сила).

Уравнение (1.5) называют основным уравнением динамики материальной точки. Это уравнение является основой для составления дифференциальных уравнений движения материальной точки, а также для общих теорем динамики.