Практика 26. Производная

26.1.Понятие производной

Определение 1. Говорят, что функция y = f(x) имеет в точке x0 производную, если существует конечный предел

Значение этого предела обозначают f0(x0) и называют п р о и з в о д н о й ф у н к ц и и f т о ч к е x0.

Очевидно предельное равенство

поэтому, если существует хотя бы один из пределов (1), то значение этого предела есть

Определение 2. Если функция f определена в некоторой правой окрестности точки x0 и существует односторонний предел

lim f(x0);

x!+0 x

то этот предел называют п р а в о й о д н о с т о р о н н е й п р о и з в о д н о й ф у н к -

Слово односторонней при этом часто опускают и говорят о правой производной или производной справа, соответственно, о левой производной или производной слева.

Определение 3. Åñëè

lim f(x0) = +1;

x!0 x

то говорят, что функция f в точке x0 имеет б е с к о н е ч н у ю п о л о ж и т е л ь н у ю п р о и з в о д н у ю. Аналогично, функция f в точке x0 имеет б е с к о н е ч н у ю о т р и - ö à ò å ë ü í ó þ ï ð î è ç â î ä í ó þ, åñëè

lim f(x0) = 1:

x!0 x

1

Заметим, что это обобщение понятия производной. В этом случае f не имеет произ-

водной в смысле определения 2.

Для существования производной функции, в том числе и в смысле обобщения, необходимо и достаточно существование в этой точке правой и левой производных и их равенство.

Пример 1. ( 828 г, е, з) Исходя из определения производной, непосредственно найти производные следующих функций:

произвольной точке x0 > 0. Запишем приращение функции, соответствующее приращению аргумента x:

Теперь выясним, существует ли правая производная f в точке x0 = 0.

pp p

поэтому правая производная функции px в точке x = 0 в смысле определения 2 не существует.

e) Функция f(x) = tg x определена при x 6= =2 + k, где k 2 Z.

з) Функция y = arcsin x определена при x 2 [ 1; 1]. Воспользуемся определением производной с помощью предела (1). Пусть x0 2 ( 1; 1). Так как обратная для y = arcsin x, x 2 ( 1; 1), есть функция x = sin y, y 2 ( =2; =2), то

Аналогично находится правая производная в точке x = 1. Односторонние производные в точках 1 существуют только в смысле обобщения производной.

26.2.Основные правила вычисления производных

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.

Пусть функции u и v имеют производные в точке x. Тогда существуют следующие производные и для них справедливы равенства

1. u(x) v(x) 0 = u0(x) v0(x);

2. u(x)v(x) 0 = u0(x)v(x) + u(x)v0(x);

c u(x) 0 = c u0(x) (c некоторое постоянное число);

3. åñëè v(x) 6= 0, òî u(x) 0 = u0(x)v(x) u(x)v0(x): v(x)

Производная композиции функций

Если функции y = f(u) и u = u(x) имеют производные, то производная композиции функций y(x) = f (u(x)) есть

Производная обратной функции

Если функция y = f(x) на некотором промежутке строго монотонна и имеет нерав-

ную нулю производную f0(x), то производная f0(x) и производная df 1(y) обратной dy

функции x = f 1(y) связаны соотношением

Можно считать, что формула (4) справедлива и в случае, когда в некоторой точ- ке x производная f0(x) = 0, если договориться, что в этом случае она означает

существование бесконечной производной обратной функции, равной +1 или 1 в зависимости от того, возрастает или убывает функция f.

Табличные производные.

Если x независимая переменная, то

Производная показательно-степенной функции

Представим функцию y(x) = u(x)v(x), используя свойства логарифмов, в следующем

âèäå:

Пример 3. Найти производную функции y = loga jxj, x 6= 0.

Чтобы воспользоваться формулой производной сложной функции, положим u = jxj. Тогда y = loga u. Известно, что можно записать u = jxj = x sgn x, где

8

>1; åñëè x > 0,

<

sgn x = 0; åñëè x = 0,

>

: 1; åñëè x < 0;

функция сигнум x (по латыни signum знак).