Практика 25. Непрерывность функции

25.1.Определения непрерывности функции в точке

Определение 1. (по Коши) Функцию f называют н е п р е р ы в н о й в т о ч к е a, если

1.a предельная точка области определения D(f);

2.для каждого " > 0 существует число (") > 0 такое, что при всех x, удовлетворяющих условию jx aj < , справедливо неравенство jf(x) f(a)j < ", короче,

8 " > 0 9 (") > 0 : 8 x jx aj < ) jf(x) f(a)j < ":

Определение 2. Функция f называется н е п р е р ы в н о й в т о ч к е a, если

lim f(x) = f(a):

x!a

Определение 3. ("на языке последовательностей\) Функция f называется н е п р е - ð û â í î é â ò î ÷ ê å a, åñëè

1.a предельная точка области определения D(f);

2.для любой сходящейся к a последовательности точек fxng из области D(f), справед-

ливо равенство lim f(xn) = f(a).

n!1

("на языке приращений\) Функция f называется н е п р е р ы в н о й в т о ч к е a, если бесконечно малому приращению аргумента в точке a соответствует

бесконечно малое приращение функции f в точке a, т. е. f(a) = f(a + x) f(a) ! 0 при x ! 0.

Определение 5. Функцию f называют н е п р е р ы в н о й в т о ч к е a, где a предельная точка области определения D(f), если

1.функция f определена в этой точке, т. е. 9 f(a);

2.существует lim f(x), т. е. существуют односторонние пределы и f(a ) = f(a+);

x!a

3. lim f(x) = f(a).

x!a

Определение 6. Функцию f называют н е п р е р ы в н о й с л е в а в т о ч к е a, если

lim f(x) = f(a):

x!a 0

Определение 7. Функцию f называют н е п р е р ы в н о й с п р а в а в т о ч к е a, если

lim f(x) = f(a):

x!a+0

Определение 8. Функция f, непрерывная в каждой точке некоторого множества X, называется н е п р е р ы в н о й н а м н о ж е с т в е X. Непрерывность в граничной точке множества X понимается как непрерывность соответственно слева или справа. Если при этом X = D(f), то функцию называют н е п р е р ы в н о й.

1

25.2.Точки разрыва функции

Определение 9. Предельную точку a области D(f) называют т о ч к о й р а з р ы в а ф у н к ц и и f, если хотя бы одно из трех условий в определении 5 не выполняется.

Замечание 1. Непрерывные функции могут иметь точки разрыва. Это точки, предельные для области определения функции, но не принадлежащие этой области.

Определение 10. Функцию f называют р а з р ы в н о й, если хотя бы одна точка разрыва функции f принадлежит области определения D(f).

Классификация точек разрыва

1.Если a является точкой разрыва функции f и существуют конечные односторонние пределы f(a+) и f(a ), то a называют т о ч к о й р а з р ы в а I р о д а.

Если a точка разрыва функции I рода и f(a+) = f(a ), то либо f не определена в точке a, либо f определена в этой точке, но f(a) 6= f(a+). Положив f(a) = f(a+), т. е. доопределив или переопределив f в точке a, получим непре-

рывную функцию. Такие точки разрыва называют у с т р а н и м ы м и.

Точку разрыва I рода называют точкой н е у с т р а н и м о г о разрыва, если

f(a+) 6= f(a ):

В этом случае нельзя получить непрерывную функцию, доопределив или переопределив f в точке a.

2. Если точка разрыва функции не является точкой разрыва I рода, то ее называют т о ч к о й р а з р ы в а II р о д а.

Если хотя бы один из односторонних пределов в точке разрыва не существу-

ет даже в обобщенном смысле (т. е. не равен бесконечности с определенным знаком), то такую точку называют точкой с у щ е с т в е н н о г о р а з р ы в а.

Если точка разрыва II рода не является точкой существенного разрыва, то ее называют точкой б е с к о н е ч н о г о р а з р ы в а.

Пример 2. ( 676) Исследовать на непрерывность и изобразить графически следующую

:

Данная функция определена на всей действительной оси (все точки являются предельными точками области определения), но на разных частях области определения за-

Рис. 1: График функции 676.

Пример 3. ( 690) Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих

Функция определена для всех x 2 R, кроме точек x = 1, x = 0, x = 1, являющихся предельными области определения

D(f) = R n f1; 0; 1g:

Следовательно, x = 1, x = 0, x = 1 точки разрыва f(x) (так как не выполнено первое

условие в определении 5).

Всюду, кроме этих точек, функция преобразуется к виду

то x = 1 точка бесконечного разрыва, x = 0 и x = 1 точки устранимого разрыва. Так как все эти точки не принадлежат области определения f, то f непрерывная.

Пример 4. ( 720) Исследовать на непрерывность и построить график функции

Указание: найдите предел при n ! 1 в зависимости от параметра x, используя один из замечательных пределов ( при x 0):

В результате получите функцию y = f(x). Исследуйте ее на непрерывность, постройте график.

25.3.Задачи для самостоятельной работы

674(ä, ç), 678, 680, 681, 684, 689, 691, 697, 700, 714, 727, 731, 740.