Практика 28. Производные для разных случаев задания функции

28.1.Производная обратной функции

Если функция y = f(x) в некоторой окрестности точки x0 непрерывна, строго моно- тонна и имеет неравную нулю производную f0(x0), то обратная функция x = f 1(y) имеет

Пример 1. ( 1034) Показать, что существует функция y = y(x), определяемая уравне-

íèåì

y3 + 3y = x;

и найти ее производную.

Функция x(y) всюду непрерывна и строго монотонна, следовательно, существует обратная ей функция y(x). Так как производная x0(y) = 3y2 + 3 не обращается в нуль ни в одной точке, то производная обратной функции определяется выражением

Пример 2. (1036 в) Найти производную функции ареасинус гиперболический 1: y = arsh x.

Если y = arsh x, то x = sh y. Следовательно,

28.2.Производная функции, заданной параметрически

Пусть функции x = x(t) и y = y(t) определены в некоторой окрестности точки t0 è

параметрически задают2 в окрестности точки x0 = x(t0) функцию y = f(x). Тогда, если x(t) и y(t) имеют в точке t0 производные dxdt (t0) = x0t(t0), dydt (t0) = yt0(t0) è x0t(t0) 6= 0, òî

1

С полярной системой координат Or' можно связать прямоугольную систему коорди-

~~

нат Oij, начало O которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси

абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис. 1, б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат (связанную с данной прямоугольной).

Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты x; y точ- ки M, отличной от точки O, и ее полярные координаты r; '. По рис. 1, б получаем

(

x = r cos ';

y = r sin ':

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:

определяют полярный угол с точностью до слагаемых , где n 2 Z. При x 6= 0 из них следует, что tg ' = xy . Главное значение полярного угла

' ( < ' 6 ) находится по формулам (рис.2).

Рис. 2: Главное значение полярного угла.

Пример 4. ( 1054 а). Найти производную yx0 , если функция y = f(x) задана уравнением

r = a '; ' 2 (0; );

где r и ' полярные координаты точки (x; y). Параметр a положительный.

Перейдем к параметрическому заданию функции

x = r cos ' = a ' cos '; y = r sin ' = a ' sin '

Кривая, задаваемая уравнением r = a '; называется с п и р а л ь ю А р х и м е д а. По-

ложительным значениям ' и параметру a = 21 соответствует спираль, изображенная на рис. 3.

Рис. 3: Спираль Архимеда.

28.4.Производная функции, заданной неявно

28.5.Задачи для самостоятельной работы

1036(ã), 1039, 1040, 1045, 1052, 1053, 1054 (á).