8111 практика 1-36 / Практика24.Контрольная_работа_на_тему_Предел функции
.pdfПрактика 24. Контрольная работа на тему "Предел функции\
24.1.Теоретическая часть
Вариант 1.
Сформулировать определения
1. lim f(x) = A по Гейне;
x!a
2.lim f(x) = 1 ïî Êîøè;
x!+1
3.f(x) ограниченная функция;
4.Критерий Коши существования предела функции в точке. Условие Коши.
Вариант 2.
Сформулировать определения
1.f(x) не имеет предела при x ! a по Гейне;
2.f(x) бесконечно малая функция при x ! 1 ïî Êîøè;
3.f(x) неубывающая функция;
4.sup f(x) = M.
x2X
Вариант 3.
Сформулировать определения
1.f(x) имеет предел при x ! +1 по Гейне;
2.f(x) бесконечно большая функция при x ! a 0 ïî Êîøè;
3.f(x) неограниченная на множестве D;
4.(x) = o ( (x)) ïðè x ! a.
Вариант 4. Сформулировать определения
1.lim f(x) = b 0 ïî Êîøè;
x!a+0
2.f(x) невозрастающая функция;
3.inf f(x) = m;
x2X
4. f(x) è g(x) функции одного порядка при x ! a.
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
2 |
|
|
24.2.Вариант 1.
Вычислить пределы:
|
|
|
|
2n p |
|
|
|
|
|
; |
||||||
1. |
lim |
|
4n2 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n!1 |
|
|
pn2 + 3 n |
||||||||||||
2. |
lim |
|
|
n 10 |
|
|
3n+1 ; |
|||||||||
n + 1 |
|
|||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
lim |
|
|
|
x2 2x + 1 |
|||||||||||
|
|
x3 x2 x + 1 |
||||||||||||||
|
x!1+0 |
|||||||||||||||
|
lim |
p |
|
p3 |
|
|
|
; |
||||||||
4. |
cos x |
cos x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
||||||
5. |
lim |
tg( (1 + x=2)) |
: |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
x!0 |
|
|
ln(1 + x) |
||||||||||||
1=(x 1)
;
6. Нарисовать пример графика функции, удовлетворяющей предельному равенству
lim f(x) = 2 + 0:
x! 1
На рисунке отметить " и окрестности, дать определение по Коши.
7. Доказать по определению lim |
2x |
= 2 + 0: |
|
1 + x |
|||
x! 1 |
|
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
3 |
|
|
24.3.Вариант 2.
Вычислить пределы:
pp
1. |
lim |
|
|
|
|
n2 + 1 |
|
n2 1 |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n!1 |
|
|
pn2 + n n 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n2 |
+ n |
|
n |
||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2n2 |
5n |
|
|
|||||||||||
2. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
lim |
|
|
|
1=(x a) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sin a |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||
|
x!a |
|
|
|
|
|
|||||||||
pp
4. lim |
3 1 + 3x 4 1 + x |
; |
||
|
|
|
||
x!+0 |
1 p1 x=2 |
|||
5. lim
e4x 1
x!0 sin( (x=2 + 1))
6. Нарисовать пример графика функции, удовлетворяющей предельному равенству
lim f(x) = 1 0:
x! 0
На рисунке отметить " и окрестности, дать определение по Коши.
7. Доказать по определению xlim0 |
2x = 1 0: |
! |
|