Практика 27. Дифференциал функции, дифференцируемость

27.1.Дифференцируемость функции

Если приращение y функции y = f(x) в точке x0 можно представить в виде

ãäå A(x0) не зависит от x и ( x) ! 0 при x ! 0, то функция y = f(x) называется д и ф ф е р е н ц и р у е м о й в т о ч к е x0, а линейная часть A(x0) x называется ее д и ф ф е р е н ц и а л о м в точке x0 и обозначается df(x0) èëè dy(x0).

Теорема 27.1. Для дифференцируемости функции в точке необходимо и достаточно, чтобы функция имела в этой точке конечную производную.

Дифференциал функции y = f(x) в точке x0 выражается через производную f0(x0) следующим образом:

1. Найдем приращение функции в точке x = 1:

f(1) = f(1 + x) f(1) = (1 + x)3 2(1 + x) + 1 0 = = x + 3 ( x)2 + ( x)3 = x + 3 x + x2 x:

Приращение функции представлено в виде (1); в данном случае оказалось, что A = 1

è ( x) = 3 x + x2 ! 0 ïðè x ! 0.

1

2. Следовательно, df(1) = x:

Как следует подобрать коэффициенты a и b, чтобы функция f(x) была непрерывной

èдифференцируемой в точке x = x0?

Данная функция определена на всей действительной оси (все точки являются пре-

дельными точками области определения), но на разных частях области определения задается различными формулами. Функции x2 и ax + b непрерывны во всех точках, в которых

определены, как э л е м е н т а р н ы е. Разрыв возможен только в точке x0.

Если существуют f0 (x0) è f+0 (x0), равные друг другу, то f(x) дифференцируема в точке x0.

27.2.Свойства дифференциала

Для любых дифференцируемых функций u и v справедливы равенства

1.d u v = du dv;

2.d u v = udv + vdu;

dc u = c du (c некоторое постоянное число);

3.åñëè v 6= 0, òî d u = vdu udv : v v2

Формула для дифференциала

dy = f0(x)dx

справедлива и в том случае, когда x является зависимой переменной, т. е. функцией, например, x = x(t). В этом случае dx есть дифференциал функции x(t). Это свойство называют с в о й с т в о м и н в а р и а н т н о с т и ф о р м ы д и ф ф е р е н ц и а л а.

( 1094) Пусть u и v дифференцируемые функции и их дифференциалы

du и dv известны. Найти dy, если y = arctg uv .

Пользуясь свойством инвариантности формы дифференциала и формулой для нахождения дифференциала частного функций u и v, имеем

27.3.Приближенные вычисления

Равенство (1) может быть записано в виде

y(x0 + x) = y(x0) + dy(x0) + ( x) x:

Åñëè dy(x0) 6= 0, то для приближенного вычисления значения функции в точке x0 + x можно пользоваться формулой

так как ( x) x сколь угодно мало при достаточно малом j xj.

24

27.4.Задачи для самостоятельной работы

1084, 1087, 1088, 979, 992, 999 (à,á,ä), 1011, 1091, 1095, 1100-1102, 1105.