Практика 31. Правило Лопиталя

01

31.1.Раскрытие неопределенностей 0 è 1

Теорема 31.1. Пусть a число или бесконечность определенного знака; f(x) и g(x) удовлетворяют условиям:

1. lim f(x) = 0, lim g(x) = 0;

x!a x!a

2. f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности U0(a); 3. g0(x) 6= 0 8 x 2 U0(a);

4. существует конечный или бесконечный lim f0(x).

x!a g0(x)

f(x)

Тогда существует предел lim g(x) (конечный или бесконечный) и справедливо равенство

x!a

Теорема 31.2. Пусть a число или бесконечность определенного знака; f(x) и g(x) удовлетворяют условиям:

1. lim f(x) = 1, lim g(x) = 1;

x!a x!a

2. f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности U0(a); 3. g0(x) 6= 0 8 x 2 U0(a);

4. существует конечный или бесконечный lim f0(x).

x!a g0(x)

Данные теоремы справедливы и для односторонних пределов.

В лекции 29 приведены примеры раскрытия неопределенностей вида 00.

При x ! 0 имеем неопределенность 00. Обратим внимание, что в числителе нельзя заменять бесконечно малые функции arcsin 2x и arcsin x эквивалентными функциями, так

1

2

êàê в разности эквивалентными заменять нельзя! Применим к раскрытию неопределенности 00 правило Лопиталя (Lop.).

воспользуемся снова правилом Лопиталя для раскрытия последней неопределенности:

малую при x ! 0 функцию sin x заменим эквивалентной x, чтобы облегчить дальнейшее

применение правила Лопиталя. В числителе стоит разность, следовательно, там нельзя заменять эквивалентными функциями. Итак,

ln x

в том числе для " = 1 имеем xp < 1 для всех x > . Следовательно, для всех x, начиная с некоторого положительного значения x0 > , справедливо неравенство

Это означает, что логарифмическая функция меньше любой степенной функции с положительным показателем для всех x x0, ãäå x0 некоторое положительное число.

3

Неравенство (1) справедливо в том числе и для натуральных значений x, то есть на- чиная с некоторого номера справедливо неравенство

Замечание 2. Аналогично тому, как это было сделано в Замечании 1, можно показать, что äëÿ âñåõ x x0, ãäå x0 некоторое положительное значение, справедливо неравенство

Это означает, что степенная функция с любым положительным показателем меньше показательной функции eax (8 a > 0) äëÿ âñåõ x x0.

Пример 5 ( 1338). Найти предел lim e 1=x2

x!0 x100 .

Аналогичная задача (пример 29.6) была разобрана в лекции 29. Сделаем сначала замену переменных, потом применим правило Лопиталя:

31.2.Раскрытие неопределенностей 0 1 è 1 1

При x ! +0 имеем неопределенность 0 1. Очевидно, что xp ln x = lnx xp ;

тогда

1[p] целая часть числа p.