8111 практика 1-36 / Практика29.Геометрический смысл производной
.pdf
Практика 29. Геометрический смысл производной
29.1.Уравнение касательной к графику функции
Для существования н а к л о н н о й к а с а т е л ь н о й AC (рис. 1) к графику функ-
ции y = f(x) в точке A(x0; f(x0)) необходимо и достаточно существование производной f0(x0). При этом тангенс угла наклона касательной AC равен значению производной f0(x0);
уравнение касательной имеет вид1
y = f(x0) + f0(x0)(x x0): |
(1) |
Рис. 1: Геометрическая интерпретация производной в точке.
Если функция y = f(x) непрерывна в точке x0 è
lim |
f(x0) |
= lim |
f(x) f(x0) |
= |
1 |
; |
(2) |
|
|
|
|
||||||
x!0 |
x |
x!x0 |
x x0 |
|
|
|||
то касательная к графику функции в точке x0 нение x = x0: В этом случае график функции y схематически изображенный на рис. 2.
называется в е р т и к а л ь н о й, ее урав- = f(x) в окрестности точки x0 имеет вид,
Рис. 2: Вертикальные касательные.
Пример 1. ( 1055) Написать уравнение касательной к графику функции
p
y = (x + 1) 3 3 x
1См. лекцию 25 "Геометрический и физический смысл производной и дифференциала \
1
2
âточках: A( 1; 0), B(2; 3), C(3; 0).
Находим производную функции
p3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2=3 |
|
4(2 |
|
x) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y0(x) = |
3 |
x + (x + 1) |
|
|
(3 |
|
x) |
|
( 1) = |
|
|
|
|
: |
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||
Вычисляем значения производной соответственно в точках |
3p(3 , x) |
: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1 x = 2 |
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y0( 1) = |
2p3 |
|
= |
|
4; |
y0(2) = 0: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Записываем уравнение касательной (1) в точке A( 1; 0): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
y = p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4(x + 1); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в точке B(2; 3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В точке x = 3 знаменатель y0(x) равен нулю. Найдем y0(3) по определению:
|
|
|
(4 + x)p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f(3) |
= lim |
x |
= |
|
lim |
(4 + x) |
= |
1 |
: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x!0 |
x |
x!0 |
x |
|
x!0 |
p3 x2 |
|
|||||||
График функции имеет в точке C(3; 0) вертикальную касательную x = 3.
Пример 2. ( 1077) Написать уравнение касательной к кривой, заданной параметриче- ски:
x = 2t t2; y = 3t t3 |
(3) |
в точках, соответствующих значению параметра t = 0 и t = 1. |
|
Òàê êàê x0(t) = 2 2t = 0 при t = 1, то производная f0(x) находится следующим
образом: |
y0(t) |
|
|
|
3 3t2 |
|
|
|
||
f0(x) = |
|
= |
|
= |
3 |
(1 + t); t = 1: |
||||
x0(t) |
|
2 |
||||||||
|
|
2 |
|
2t |
|
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем значение абсциссы x, значение функции y(x) и ее производной при t = 0:
x(0) = 0; y(0) = 0; f0(0) = 3=2:
Записываем уравнение касательной (1) в точке (0; 0):
y = 32x:
Значению параметра t = 1 соответствует точка на кривой с координатами x(1) = 1, y(1) = 2. Заметим, что x(t) = (t 1)2 + 1 1, следовательно, функции, задаваемые уравнениями (3), определены при x 1 и их графики имеют общую точку (1; 2). Найдем левые односторонние производные этих функций в точке x = 1:
f0 |
(1) = lim |
y(t) |
y(1) |
|
lim |
3t |
t3 |
|
2 |
= |
|
0 |
|
= lim |
t3 |
|
3t + 2 |
= lim |
(t |
1)2(t + 2) |
= 3: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x(1) |
2t |
t2 |
|
1 |
0 |
|
|
2t + 1 |
|
(t |
|
1)2 |
|
|||||||||||
|
t!1 x(t) |
= t!1 |
|
t!1 t2 |
t!1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3
Рис. 3: График кривой, заданной уравнениями (3).
Следовательно, графики функций, задаваемых уравнениями (3), имеют общую касательную, уравнение которой имеет вид
y = 2 + 3(x 1):
Построив графики функций x = x(t), y = y(t), и проанализировав их поведение при одних
èтех же значениях t, можем построить параметрически заданную кривую (рис. 3).
Âточке кривой с координатами x = 1, y = 2 две ее ветви, соответствующие разным
функциям, имеют общую касательную. Такая точка называется т о ч к о й в о з в р а т а или точкой заострения.
29.2.Уравнение нормали к графику функции
íîé (ðèñ. 4), называется н о р м а л ь ю. ( |
0 |
; |
y |
0) |
y |
0 = f(x0) |
перпендикулярно касатель- |
Прямая, проходящая через точку A x |
|
|
|
|
|
|
Рис. 4: Наклонная касательная и нормаль. |
|
||
Åñëè f0(x |
) = 0, то уравнение нормали к графику функции f(x) в точке A записывается |
|||
0 |
6 |
|
|
|
â âèäå |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
y = f(x0) |
|
(x x0): |
(4) |
|
f0(x0) |
|||
Åñëè f0(x0) = 0, то нормаль имеет уравнение x = x0. В случае (2) нормаль имеет уравнение y = f(x0).
4
Пример 3. ( 1055) Написать уравнение нормали к графику функции
p
y = (x + 1) 3 3 x
âточках: A( 1; 0), B(2; 3), C(3; 0).
Производную функции и ее значения в соответствующих точках были найдены в примере 1. Записываем уравнение нормали (4) в точке A( 1; 0):
1
y = p (x + 1);
3 4
в точке B(2; 3):
x = 2;
в точке C(3; 0):
y = 0:
Пример 4. ( 1077) Написать уравнение нормали к кривой, заданной параметрически уравнениями (3) в точках, соответствующих значению параметра t = 0 и t = 1.
С учетом исследования, проведенного при решении примера 2 напишем уравнение нормали в точке (0; 0), соответствующей значению параметра t = 0:
y= 23x:
Âточке (1; 2), соответствующей значению параметра t = 1, уравнение нормали имеет вид:
y= 2 13(x 1):
29.3.Угол между кривыми на плоскости
Пусть графики функций y = f1(x) è y = f2(x) пересекаются в точке A(x0; y0) (ðèñ. 5). За угол ' между графиками этих функций принимается наименьший из двух возможных
углов между касательными, проведенными к графикам в точке |
A. Угол ' находится с |
|||||||||||||||||
помощью формулы |
|
|
f0(x ) |
|
f0(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
tg ' = |
|
; |
0 |
|
' |
|
|
(5) |
|||||||||
|
1 + f10(x0)f20 |
(x0) |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Åñëè 1 + f0 |
(x0)f0(x0) = 0, òî ' |
|
|
=2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5: Угол между кривыми на плоскости.
5
Рис. 6: Параболы y = x2 è x = y2.
Пример 5. (1061) Под какими углами пересекаются кривые
y = x2 è x = y2 ?
Параболы расположены симметрично относительно координатных осей (рис. 6). Решив систему
(
y = x2; x = y2;
найдем точки пересечения парабол (0; 0) и (1; 1). Из уравнения первой параболы получаем
y0 = 2x; y0(0) = f10(0) = 0; y0(1) = f10(1) = 2:
Второе уравнение неявно задает две функции y(x), дифференцируя его по x получим
1 = 2y y0; ò. å. y0(x) = 21y
и, следовательно, в точке (0; 0) производная не существует, в точке (1; 1) производная y0(1) = f20(1) = 1=2. Формула (5) в точке (1; 1) имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
tg ' = |
|
2 1=2 |
|
= |
3 |
; |
|
|
1 + 2 (1=2) |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
значит, в точке (1; 1) параболы пересекаются |
под углом |
' = arctg(3=4). |
|||||
Âточке (0; 0) парабола y = x2 имеет горизонтальную касательную y = 0, парабола x = y2 имеет вертикальную касательную x = 0, следовательно, угол между кривыми в
точке (0; 0) равен =2.
29.4.Задачи для самостоятельной работы
1056, 1057, 1062, 1071, 1078, 1079, 1082.