8111 практика 1-36 / Практика30.Производные и дифференциалы высших порядков
.pdfПрактика 30. Производные и дифференциалы высших порядков
30.1.Производные высших порядков
Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b). Производную f0(x) называ-
ют п р о и з в о д н о й п е р в о г о п о р я д к а или п е р в о й п р о и з в о д н о й функции f(x). Если первая производная f0(x) дифференцируема на интервале (a; b),то ее произ-
водную называют в т о р о й п р о и з в о д н о й или п р о и з в о д н о й в т о р о г о п о - р я д к а функции f(x) на интервале (a; b) . Для производной второго порядка приняты
следующие обозначения:
f00(x); f(2)(x); |
d2f |
(x); f00 |
; |
f002 : |
|
||||
|
dx2 |
xx |
|
x |
|
|
|
|
Производная третьего порядка f000(x) вводится как первая производная производной
второго порядка f00(x) è ò. ä. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ï ð î è ç â î ä í î é ï î ð ÿ ä ê à |
n, функции f(x) называется первая производная про- |
|||||||||||||||||||||||||
изводной порядка n 1, т. е. по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(n) x |
) = f |
(n 1) |
(x) |
0 |
|
n 2 N; |
|
|
|
|
|
||||||
при этом под производной f |
(0) |
( |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(x) нулевого порядка подразумевается функция f(x). |
|||||||||||||||||||||||||
Пример 1. ( 1113) Найти y00, åñëè y = e x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Òàê êàê y0 |
= e x2 ( 2x) = 2xe x2 , òî |
|
|
|
= 2e x2 |
2x2 1 : |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y00 = 2 e x2 + x 2xe x2 |
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 2. ( 1120) Найти y(0), y0(0), y00(0), åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = esin x cos (sin x) : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y(0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
esin x cos x cos(sin x + =4) x=0 = 1; |
|||||||||||
y0 |
= esin x (cos x cos(sin x) sin(sin x) cos x) = p |
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y00 = |
p |
|
|
sin x |
|
|
2 |
x cos(sin x+ =4) sin x cos(sin x+ =4) cos |
2 |
|
|
|
x=0 = 0: |
|||||||||||||
2e |
cos |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x sin(sin x+ =4) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx0 |
|
yx002 |
|
yx0003 |
|
|
|
|
y |
|
заданных |
|||
Пример 3. ( 1140) Найти производные |
, |
, |
от функций |
, |
||||||||||||||||||||||
параметрически: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y(x) |
|
|||||||||||||
|
|
|
x = 2t t2; |
|
y = 3t t3: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||
Напомним, что первую производную от функций, задаваемых уравнениями 1, ìû
получили на предыдущем практическом занятии 29, пример 2 ( 1077). График кривой изображен на рис. 1. Из графика кривой видно, что уравнения 1 задают 2 функции.
1
2
Рис. 1: График кривой, заданной уравнениями (1).
Òàê êàê x0(t) = 2 |
|
2t = 0 при t = 1, то производная y0 |
находится следующим образом: |
|||||||||||
|
|
|
y0(t) |
|
|
|
3 3t2 |
|
|
x |
|
|||
|
|
y0 |
= |
|
= |
|
= |
3 |
(1 + t); |
t = 1: |
||||
|
|
x0(t) |
|
2 |
||||||||||
|
|
x |
|
|
2 |
|
2t |
|
|
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку yx0 есть функция от параметра t, то производная функций y = y(x), задаваемых параметрическими уравнениями (1), также задается параметрически:
x = 2t t2; yx0 |
= |
3 |
(1 + t); t 6= 1: |
(2) |
2 |
Производная функций, заданных уравнениями (2), является второй производной yxx00 ôóíê- ций y(x), заданной уравнениями (1). yx002 также задается параметрически уравнениями
x = 2t t2; |
yx002 = |
(y0 )0 |
= |
3=2 |
|
3 |
(1 |
t) 1: |
|
(3) |
||||||||
xt0 t |
2 2t = |
4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подобным образом найдем производную третьего порядка yx0003 : |
|
|
|
|
||||||||||||||
x = 2t t2; yx0003 = |
y002 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
8(1 |
|
t)3 : |
||||
xt0 |
t = |
|
2 2t |
( |
|
3 |
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
3=4(1 t) |
|
|
1) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p
Пример 4. ( 1158) Найти производную 10-го порядка функции y = x.
Òàê êàê
y0 = 12x 1=2; y00 = 12 12x 3=2;
y000 = |
1 3 |
x 5=2 |
; y(4) |
= |
|
1 3 5 |
x 7=2 |
; |
|
23 |
24 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
то естественно предположить, что
y(n) = ( |
1)n 1 |
(2n 3)!! |
x (2n 1)=2 |
: |
(4) |
|
|
2n |
|
|
|
где (2n 3)!! = 1 3 5 : : : (2n 3). Докажем справедливость этой формулы для натуральных n 2 методом математической индукции. При n = 2 формула верна. Предположим, что она верна при n = k, т. е.
y(k) = ( 1)k 1 (2k 3)!!x (2k 1)=2: 2k
3
Тогда |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
y(k+1) = |
( |
|
1)k 1 |
(2k 3)!! |
x (2k 1)=2 |
= ( |
1)k |
(2k 1)!! |
x (2k+1)=2 |
|||
|
||||||||||||
|
|
|
2k |
|
|
|
2k+1 |
|||||
и, следовательно, формула (4) верна и при n = k + 1. Отсюда вытекает ее справедливость при всех значениях n.
При n = 10 из формулы (4) имеем
y(10) |
|
17!! |
x 19=2 |
|
17!! |
|
|
|
= |
|
= |
210x9p |
|
: |
|||
210 |
||||||||
x |
30.2.Формула Лейбница
Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют производные порядка n, то произведение этих функций u(x)v(x) также имеет производную порядка n, причем справедливо равенство
n
X
(uv)(n) = Cnku(k)v(n k);
k=0
называемое формулой Лейбница1.
Пример 5. ( 1159) Найти производную 8-го порядка функции y = x2=(1 x).
Применим формулу Лейбница, положив в ней u = x2, v = (1 x) 1, n = 8:
(x2(1 x) 1)(8) = C80x2 (1 x) 1 (8) + C81 x2 0 (1 x) 1 (7) + C82 x2 00 (1 x) 1 (6) :
Остальные слагаемые равны нулю, так как
x2 (k) = 0; ïðè k > 2:
Для вычисления производных 8-го, 7-го и 6-го порядка функции (1 x) 1 воспользуемся
формулой
(1 x) 1 (n) = n!(1 x) n 1;
которую можно доказать методом математической индукции аналогично предыдущему примеру. Следовательно,
(x2(1 |
|
x) 1)(8) = x2 |
|
8!(1 |
|
x) 9 + 8 |
|
2x |
|
7!(1 |
|
x) 8 |
+ |
8 7 |
2 |
|
6!(1 |
|
x) 7 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= 8!(1 x) 9 x2 + 2x(1 x) + (1 x)2 = |
8! |
|
|
: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
(1 x)9 |
|
|
|
||||||||||||||||
30.3.Задачи для самостоятельной работы
1056, 1057, 1062, 1071, 1078, 1079, 1082.
1Сравните формулу Лейбница с формулой бинома Ньютона (cм. практику 2).