8111 практика 1-36 / Практика23.Вычисление_пределов,сравнение_бесконечно_малых_и_бесконечно_больших
.pdf
Практика 23. Вычисление пределов, сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
23.1.Вычисление пределов
Пример 1. Найти пределы
558
579
558
òàê êàê
x!0 |
ax + bx |
! |
1 |
|
|
|
ax2 + bx2 |
|
x |
lim |
|
|
(a > 0; b > 0); |
|
|
|
|||
lim |
esin 2x esin x |
: |
||
x!0 |
th x |
|
|
|
|
x!0 |
|
ax + bx |
|
1 |
|
f |
|
g |
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
ax |
+ bx |
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
lim |
|
ax2 + bx2 |
|
|
|
x |
= |
|
11 |
|
|
= lim |
|
1 + |
ax2 |
+ bx2 |
ax bx |
x |
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x!0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
ax |
+ bx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
1 |
ln |
1 + |
ax2 |
+ bx2 |
ax bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|||||||||
x!0 |
x |
|
|
|
|
ax |
+ bx |
|
|
|
|
f1 g |
|
x!0 |
x (ax + bx) |
|
|
|||||||||||||||||
lim |
1 |
ln |
1 + |
ax2 + bx2 |
ax bx |
|
= |
|
0 |
= lim |
ax2 + bx2 |
ax |
|
bx |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
= x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
||||||||
|
ax ax2 x 1 |
|
|
bx bx2 x 1 |
|
(x2 |
|
|
x) ln a |
|
(x2 |
|
x) ln b |
||||||||
= lim |
|
|
+ lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
+ lim |
|
|
|
= |
||
2x |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
||||||||
! |
|
! |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
! |
|
|
2x |
||||||
|
|
|
|
= 2 |
2 |
= ln r |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ln a |
|
ln b |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
579 |
esin 2x |
esin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
esin x |
|
esin 2x sin x 1 |
|
||||||||
lim |
= |
|
0 |
|
|
lim |
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x!0 |
th x |
|
= x!0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||
= lim |
sin 2x sin x |
= lim |
sin 2x |
|
|
|
lim |
sin x |
= 1: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
0 |
x |
|
|
|
|
x |
! |
0 |
|
|
x |
|
x |
! |
0 |
|
x |
|
|
||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. ( 565) Доказать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
loga x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim |
|
|
|
= 0; |
|
|
(a > 1; |
|
p > 0): |
|
(1) |
|||||||||||
|
|
|
|
xp |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Положим xp = t. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
loga x |
|
|
|
1 |
|
|
|
loga t |
|
|
|
||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
xp |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x!+1 |
|
|
|
p t!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
2 |
|
|
|
loga n |
|
|
||
В силу равенства1 lim |
|
= 0, имеем |
|
|
|
|
|
|
|||
n!1 |
n |
|
|
||
|
|
loga |
(n + 1) |
||
|
|
lim |
|
|
= 0: |
|
|
|
|
||
|
|
n!1 |
n |
||
Пусть " > 0 произвольное. Тогда существует такое натуральное число N, что при n > N
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loga |
(n + 1) |
|
|||
|
|
|
|
0 < |
|
|
|
|
< ": |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
Для t > N + 1 положим n = [t]. Тогда n > N и n t n + 1, так что |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
loga t loga (n + 1) |
|
|||||||||
|
|
|
0 < |
|
|
|
|
|
< |
|
< "; |
|
||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
ò. å. lim |
loga t |
|
= 0, а вместе с этим верно (1). |
|
||||||||||
t |
|
|||||||||||||
t!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично доказывается предельное равенство |
|
|||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
xp |
= 0 |
(a > 1; p > 0): |
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x!+1 ax |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из равенств (1), (2) следует, что функции loga x; xp, ax при a > 1, p > 0 и достаточно больших x находятся в соотношении
loga x < xp < ax;
значит, при достаточно больших n и члены последовательностей loga n; np, an (a > 1, p > 0) находятся в соотношении
loga n < np < an:
23.2.Cравнение бесконечно малых и бесконечно больших
Пример 3. ( 653 г) Пусть x ! 0. Выделить главный член вида Cxn (C постоянная) и определить порядок малости относительно переменной x следующей функции
|
|
|
f(x) = tg x sin x: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = tg x |
|
sin x = |
sin x (1 cos x) |
|
x |
|
x2 |
= |
x3 |
ïðè x |
! |
0: |
||
cos x |
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( 655 д) Пусть x ! 1. Выделить главный член вида C(x 1)n порядок малости относительно бесконечно малой x 1 следующей функции
f(x) = xx 1:
Поскольку x ln x ! 0 при x ! 1, то
f(x) = xx 1 = ex ln x 1 x ln x = x ln(1 + (x 1)) x 1 ïðè x ! 1:
1См. практику 9, пример 5 ( 64)
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
3 |
|
|
Пример 5. ( 658 г) Пусть x ! 1. Выделить главный член вида C |
|
|
1 |
|
n |
и определить |
||||||||||||
x |
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
порядок роста относительно бесконечно большой |
|
|
следующей функции |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
f(x) = |
1 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
f(x) = |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
ïðè |
x ! 1: |
|||||||
sin x |
sin( + x ) |
sin( (x 1)) |
(x 1) |
|||||||||||||||
23.3.Задачи для самостоятельной работы
561, 564, 566-568, 571, 572, 576, 587, 591-597, 653(à-â), 655(à,â,ã), 658(à,á,â).
Номера задач даны согласно учебному пособию:
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.