Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8111 практика 1-36 / Практика21.Второй_замечательный_предел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

156.14 Кб

Скачать

☆

Практика 21. Второй замечательный предел

21.1.Показательно-степенная функция

П о к а з а т е л ь н о - с т е п е н н а я функция (или с л о ж н о - п о к а з а т е л ь н а я функция) это функция вида

y= (f(x))g(x);

ò.е. функция, в которой переменная x содержится и в основании степени, и в ее показателе. Областью определения этой функции являются все x, в которых f(x) > 0. Согласно

основному логарифмическому тождеству

y = (f(x))g(x) = eg(x) ln f(x):

Пример 1. Доказать, что

à) lim ex = ea;

ã)

lim ln x = ln a

(0 < a < +

);

ex = + ;

á)

lim

ä)

lim

ln x = +

;

! 1

â)

= 0;

å)

lim ln x =

x lim

! 1

= e

= 1:

a) 1. Докажем это предельное равенство сначала для a = 0: lim e

x!0

Для любого " > 0 справедливы соотношения

jex 1j < "

при x, удовлетворяющих неравенству ln(1 ") < x < ln(1 + "). Таким образом,

8 " > 0

9 = minfln(1 + "); j ln(1 ")jg > 0 :

8 x

jx aj <

) jex 1j < ";

ò. å. lim ex = e0 = 1:

x!0

ea) = ea lim (ex a

x a=t

2. Òàê êàê lim (ex

1) =

= ea lim (et

1) = 0; òî ïî ñâîé-

ству бесконечно!малых lim ex = e!a.

x a

x!a

б) Для любого E > 0 неравенство ex > E справедливо при x > ln E. Таким образом,

8 E > 0 9 = ln E > 0 : 8 x x > ) ex > E;

ò. å.

lim ex

= +1

! 1

в) Указание: ввести новую переменную t = x, стремящуюся к +1 при x ! 1.

г) Указание: доказать сначала, что lim ln x = 0.

Из этих равенств следует, что

x!1

x!a

lim x

;

lim ln x = ln

lim x

lim ex = ex

О. А. Кузенков, Е. А. Рябова

Пример 2. ( 506) Найти

2 + x

1 p

2 + x

1 p

2 + x

1 p

x!0

;

x!1

;

x!+1

à) lim

1 + x

1 x

á) lim

1 + x

1 x

â) lim

1 + x

1 x

По определению показательно-степенной функции имеем

	1 p
à) Òàê êàê lim		x	ln

x!0	1 x

1+x

2+x


	1 p
1 + x	1 p		x	1 p
		1 x
		1 x				x		1+x
				= e			ln	2+x :
					1 x
2 + x					1 x

= ln 12 ; òî

x!0 2 + x

1 p

x!0

= 2

1 + x

1 x

1 p

1+x

1 p

lim

= lim e 1

2+x

á) Òàê êàê

1+x

òî

lim

2+x = lim

ln 3

2 ln

3 ;

x ln

x!1

1+ x

1 p

x!1 2 + x

x!1

ln p

= r3

1 + x

1 x

1 p

1+x

â) Òàê êàê

lim

= lim e 1

2+x

1 + x

2+1+xx = t

x!+1

= x!+1

1 + px

x!+1

= t

t!1

2 + x

lim

= 0;

lim

= lim ln t = 0;

òî

1 p

1 + x

1 p

1 x

1+x

x!+1

= x!+1

2+x

e = 1:

2 + x

lim

Пример 3. ( 507) Найти

x + 2

x!1 2x 1

x+2

lim

Òàê êàê

x!1

= ln 2

= x2

2x 1

lim ln

ln 2 < 0, òî

x!1

2x 1

x!1

lim

x + 2

= lim ex2 ln(

x+2

) = e 1

= 0:

2x 1

21.2.Второй замечательный предел

В т о р ы м з а м е ч а т е л ь н ы м п р е д е л о м называют предельное равенство

lim (1 + x)1=x = e:		(1)
x!0
Второй замечательный предел может быть также записан в виде
1	x
x!1 1 + x
lim	= e;
в частном случае x = n, n 2 N.		x ! 0 справедливы следующие
Из второго замечательного предела следует, что при
соотношения эквивалентности:

О. А. Кузенков, Е. А. Рябова	3

1. loga(1 + x) ln a;

2. ln(1 + x) x;

3. ax 1 x ln a;

4. ex 1 x;

5. (1 + x) 1 x;

6. sh x x;

7. th x x;

8. ch x 1 x2 :

В силу теоремы о пределе композиции функций cоотношения эквивалентности 1-8 справедливы и в том случае, когда вместо x в этих выражениях стоит некоторая бес-

конечно малая функция (x).

Пример 4. ( 515) Найти

x + a

x!1 x a

lim

При x ! 1 основание показательно-степенной функции стремится.

к единице, сле-

довательно, мы имеем дело с неопределенностью, обозначаемой 11

x!1

x a

= f1 g = x!1

x a

;

x + a

lim x ln

òàê êàê

lim

1 +

(

x a )

ln 1 +

x!1

= f1 0g =

= x!1

x a

ïðè

lim x ln

1 +

lim x

= 2a;

! 1

òî

x!1 x a

x + a

lim

x ln(1+

)

lim

x a

21.3.Задачи для самостоятельной работы

508, 510-514, 516-526.

Номера задач даны согласно учебному пособию:

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.

Соседние файлы в папке 8111 практика 1-36

#
27.03.2015193.95 Кб39Практика16.Ограниченность_функции;предел_функции.pdf
#
27.03.2015204.37 Кб39Практика17.Бесконечно_малые_и_бесконечно_большие_функции;предел_композиции_функций.pdf
#
27.03.2015154.6 Кб38Практика18.Один_замечательный_предел.pdf
#
27.03.2015190.83 Кб45Практика19.Определение_предела_функции_по_Коши.pdf
#
27.03.2015145.71 Кб38Практика20.Первый_замечательный_предел.pdf
#
27.03.2015156.14 Кб39Практика21.Второй_замечательный_предел.pdf
#
27.03.2015140.68 Кб49Практика22.Вычисление_пределов_с_помощью_эквивалентных_бесконечно_малых.pdf
#
27.03.2015155.17 Кб43Практика23.Вычисление_пределов,сравнение_бесконечно_малых_и_бесконечно_больших.pdf
#
27.03.2015126.65 Кб39Практика24.Контрольная_работа_на_тему_Предел функции.pdf
#
27.03.2015176.49 Кб41Практика25.Непрерывность_функции.pdf
#
27.03.2015169.19 Кб39Практика26.Производная.pdf