8111 практика 1-36 / Практика22.Вычисление_пределов_с_помощью_эквивалентных_бесконечно_малых
.pdf
Практика 22. Вычисление пределов с помощью эквивалентных бесконечно малых
22.1.Эквивалентные бесконечно малые функции
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при x ! 0:
sin x x; tg x x;
1 cos x x2 ;
2
arcsin x x;
arctg x x;
x loga(1 + x) ln a;
ln(1 + x) x;
ax 1 x ln a; ex 1 x;
(1 + x) 1 x; sh x x;
th x x;
ch x 1 x2 : 2
В силу теоремы о пределе композиции функций эти cоотношения эквивалентности справедливы и в том случае, когда вместо бесконечно малого x стоит некоторая бесконечно
малая функция (x).
Пример 1. Найти пределы
531 lim |
ln x ln a |
|
(a > 0); |
|||
x!a |
|
x a |
|
|
|
|
533 lim |
ln (x2 x + 1) |
; |
||||
x!+1 ln (x10 + x + 1) |
|
|||||
|
|
x |
1=x |
; |
|
|
544 lim (x + e ) |
|
|
|
|||
x!0 |
x a |
|
|
|
|
|
548 lim |
|
(a > 0): |
||||
x!a x a |
|
|
|
|
||
531
x!a |
x |
a |
= |
0 |
= |
lim |
ln x |
ln a |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
t!0 |
t |
|
|
t!0 |
t |
= t!0 t |
a |
||||
x |
a = t |
|
= lim |
ln(a + t) |
|
ln a |
= lim |
ln (1 + t=a) |
|
lim |
t=a |
= |
1 |
: |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
533 |
|
|
ln (x2 x + 1) |
|
|
|
|
|
ln |
x2(1 x1 |
+ |
1 |
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
lim |
|
= |
|
= lim |
x2 |
|
= |
|||||||||||
|
ln (x10 + x + 1) |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||
x |
+ |
|
|
|
|
x + |
|
x10 |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
n |
1o |
|
(1 + x9 |
+ x10 ) |
|
|
||||||||||||
|
! |
|
|
! 1 ln |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim
x!+1
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 x1 + |
1 |
) |
|
|
|
|
|
||||||||
2 ln x + ln |
|
|
|
|
2 + |
x2 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||
|
x9 |
|
|
x |
|
|
! 1 |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 x |
+ x2 |
|
|
= |
lim |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
= |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
10 + |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10 ln x + ln |
|
|
|
+ 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 + |
|
|
|
x |
+ |
|
|
ln(1+ 9 + |
|
10 ) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
òàê êàê |
ln |
1 x1 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
1 + |
1 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
x2 |
|
|
|
= 0; |
lim |
x9 |
x10 |
|
= 0: |
|||||||
|
ln x |
|
= |
1 |
|
ln x |
|
||||||||||
x!+1 |
|
x!+1 |
|
||||||||||||||
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
544 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (x + ex)1=x = |
|
11 |
|
|
|
= lim (1 + (x + ex |
|
|
|
|
lim |
ln(1+(x+ex 1)) |
= e2; |
|
|
|||||||||
|
|
f |
g |
|
1))1=x = ex!0 |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln (1 + (x + ex |
|
1)) |
= |
|
0 |
|
= lim |
x + ex |
|
1 |
= lim |
x |
+ lim |
ex 1 |
= 1 + lim |
x |
= 2: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
|
x |
x |
|||||||||||||||
x!0 |
x |
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
x!0 x |
x!0 |
|
|
x!0 |
|
|||||||||||
548
lim
x!a
x |
a |
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
a = t |
|
|
|
|
|
(a + t) |
a |
|
|||||||
x |
a |
|
0 |
|
|
t |
|
0 = t!0 |
(a + t) |
a |
|
||||||||||||||
|
|
= |
|
= |
|
|
! |
|
|
lim |
|
|
|
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||
= lim |
a |
(1 + |
) 1 |
|
= lim |
a |
|
|
= |
|
a : |
|
|||||||||||||
a |
a |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|||||||||||||||
|
t!0 a |
(1 + at ) |
|
1 |
|
t!0 a |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
22.2.Задачи для самостоятельной работы
532, 534-539, 545-545.3, 549, 553-555.
Номера задач даны согласно учебному пособию:
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.