Практика 17. Бесконечно малые и бесконечно большие функции; предел композиции функций

17.1.Предел функции на бесконечности и бесконечный предел

Определение 1. Число A называют пределом функции f при x ! 1 и обозначают

lim f(x) = A;

x!1

åñëè

1. существует число L > 0 такое, что функция f определена при всех jxj > L;

2. для каждой последовательности fxng, все числа xn которой принадлежат области

определения функции f и xn ! 1, справедливо равенство A = lim f(xn).

n!1

Определения пределов при x ! +1 (x ! 1) аналогичны.

Определение 2. Говорят, что предел функции f в точке a равен бесконечности, и пишут

lim f(x) = 1;

x!a

åñëè

1.a предельная точка области определения функции f;

2.для каждой последовательности точек fxng из области определения функции f, сходящихся к a и отличных от a, последовательность ff(xn)g значений функции схо-

дится к 1, т. е. lim f(xn) = 1.

n!1

Как и для пределов последовательностей, будем говорить, что функция имеет предел, если этот предел конечен. А если предел может быть и бесконечным, это будет специально отмечаться.

Определение 3. Функция f(x) называется б е с к о н е ч н о м а л о й при x стремящемся к a (конечному или бесконечному), если

lim f(x) = 0:

x!a

Определение 4. Функция f(x) называется б е с к о н е ч н о б о л ь ш о й при x стремящемся к a (конечному или бесконечному), если

lim f(x) = 1:

x!a

Теорема 17.1. Функция f(x), определенная и не равная нулю в некоторой проколотой окрестности точки x = a, является бесконечно малой при x ! a тогда и только тогда, когда функция 1=f(x) ïðè x ! a является бесконечно большой

1

Пример 1. ( 411 в) Найти

в) Числитель и знаменатель при x ! 1 являются бесконечно большими функция-

ми. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для раскрытия неопределенности 11 также, как и в случае последовательностей, разделим числитель и

знаменатель на x2 самую "быстро растущую\ функцию из встречающихся в предложенной дроби, и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

г) Здесь знаменатель стремиться к нулю, а числитель стремиться к 3=4:

x2 1

Функция 2x2 x 1 является обратной к бесконечно малой при x ! 1=2 функции g(x):

Согласно теореме 17.1

x2 1

lim = 1:

x! 1=2 2x2 x 1

Пример 2. ( 415) Найти предел

Числитель и знаменатель при x ! 1 являются бесконечно большими функциями.

Âчислителе и знаменателе стоят многочлены пятого порядка. Для раскрытия неопределенности 11 разделим числитель и знаменатель на x5 (íå íàäî "раскрывать скобки\) è ê полученной функции применим теорему о пределе частного:

17.2.Предел композиции функций

Теорема 17.1. Пусть существуют

Эта теорема позволяет вычислять пределы, переходя от переменной x к новой пере-

При x ! 1 имеем неопределенность 00. Чтобы избавиться от неопределенности надо сократить в числителе и знаменателе общий сомножитель x 1. Для начала перейдем от

переменной x к переменной t = x 1, воспользуемся биномом Ньютона, затем сократим общий множитель t:

Здесь C2 = C2 = биномиальные коэффициенты.

m 2 , n 2

Очевидно, t ! 0 при x ! 1. Так как m и n постоянные, то в числителе и знаменателе стоит конечная сумма бесконечно малых при t ! 0:

В результате находим

p

Пример 4. Найти lim m x (a 0, m 2 N).

x!a

1. Пусть a = 0. Так как для четного m функция определена при x 0, возьмем какую-либо последовательность fxng такую, что

x!+0

Для нечетного m функция определена на множестве X = R. Взяв какую-либо последовательность fxng, такую, что

2. Пусть a > 0. Достаточно рассмотреть функцию в некоторой проколотой окрестности U0(a) точки a, где U0(a) 2 (0; +1). Возьмем какую-либо последовательность fxng такую, что

В силу произвольности выбранной последовательности fxng, согласно определению по Гейне предела функции в точке

Числитель и знаменатель при x ! 1 являются бесконечно большими функциями. Для раскрытия неопределенности 11 разделим числитель и знаменатель на px самую

\ функцию из встречающихся в предложенном выражении и перейдем "быстро растущую 1

от переменной x к переменной t = x :

lim g(t) = lim qt + pt3 = 0;

t!+0 t!+0

К полученной функции применима теорема о пределе произведения (постоянный множитель можно выносить за знак предела) и частного, затем, в числителе применим теорему о пределе суммы:

1(a b)(a + b) = a2 b2

2(a b)(a2 + ab + b2) = a3 b3

К полученной функции применима теорема о пределе произведения (постоянный множитель можно выносить за знак предела) и частного, поэтому

При вычислении последнего предела воспользовались теоремами о пределе суммы, произведения, а также формулой (4).

17.3.Задачи для самостоятельной работы

Написать определения по Гейне для случаев:

416, 424, 424.1, 426, 427, 428, 436, 438, 439, 440, 441, 442.

Номера задач даны согласно учебному пособию:

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.