8111 практика 1-36 / Практика20.Первый_замечательный_предел
.pdf
Практика 20. Первый замечательный предел
20.1.Первый замечательный предел
lim sin x = 1:
x!0 x
Пример 1. Найти пределы
471. |
lim |
sin 5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
475. |
lim |
tg x sin x |
; |
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
sin3 x |
|
|||||
472. |
lim |
|
sin x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
482. |
lim |
sin x sin a |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x!1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!a |
|
x a |
|
||||||
473. |
lim |
sin mx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
6: lim |
arctg x |
: |
|
|
||||||
sin nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||
|
x! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
||||||
|
x!0 |
|
x |
= |
0 |
x!0 |
5x |
= |
t ! 0 |
|
t!0 t |
= 5 |
|
|
|||||||
471. |
lim |
sin 5x |
|
|
0 |
= lim |
5 sin 5x |
|
t = 5x |
= 5 lim |
sin t |
|
: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
472. Обратите внимание, что этот предел лишь "похож\ на первый замечательный. При x ! 1 ни аргумент синуса, ни знаменатель не являются бесконечно малыми функ-
циями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Òàê êàê ïðè x 6= 0 |
|
|
|
|
sin x |
1 |
sin x; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
||||
è |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 x 2 R j sin xj 1; |
|||||||||
|
|
xlim |
|
= 0; |
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то согласно теореме о произведении бесконечно малой функции на ограниченную |
|||||||||||||||||
|
|
x!1 |
|
x |
x!1 x sin |
|
= 0 |
||||||||||
|
|
lim |
|
sin x |
= lim |
|
1 |
|
x |
: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
473. Согласно самостоятельно доказанному равенству 481 а) |
|||||||||||||||||
|
lim sin mx = sin m = 0; |
|
lim sin nx = sin n = 0; |
||||||||||||||
|
x! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x! |
|
|
|
|
|
но сразу домножать и делить эту функцию на дробь |
|
nx |
|
аналогично примеру 471 смыс- |
|||||||||||||
|
mx |
||||||||||||||||
|
sin mx |
|
|
|
sin nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ëà íåò, òàê êàê lim |
è lim |
|
ëèøü |
|
|
\ на первый замечательный. Здесь |
|||||||||||
mx |
|
nx |
|
|
|||||||||||||
x! |
x! |
|
|
|
|
"похожи |
|
|
|
||||||||
также, как в примере 472 при x ! ни аргумент синуса, ни знаменатель не являются
бесконечно малыми функциями.
Введем новую переменную t = x и воспользуемся формулой приведения sin ( k + ) = ( 1)k sin ïðè j j < =2 :
x! sin nx |
|
t ! 0 |
|
||
lim |
sin mx |
= |
|
t = x |
|
|
|
|
|||
= ( 1)m n
= lim |
sin m( + t) |
|
|
lim |
( |
1)m sin mt |
= |
mt |
|
0 |
= |
|||||||||||
sin n( + t) |
|
|
( |
|
1)n sin nt |
|
|
nt |
! |
0 |
||||||||||||
t!0 |
|
= t!0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
sin mt |
|
sin nt |
|
mt |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
! |
|
|
|||||
lim |
: |
|
= ( |
|
|
1)m n |
: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
nt |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
t 0 |
mt |
nt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
475. Имеем неопределенность |
0 |
. Òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
tg x sin x |
= |
sin x sin x cos x |
= |
1 cos x |
= |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x sin2 x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
cos x sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 sin2(x=2) |
|
sin2 x |
|
(x=2)2 |
1 sin2(x=2) |
|
sin2 x |
|
1 |
|
||||||||||||||
= |
|
|
: |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|||||||
(x=2)2 |
|
x2 |
|
x2 cos x |
2 |
(x=2)2 |
x2 |
|
cos x |
||||||||||||||||
è
lim |
sin2(x=2) |
= lim |
||
(x=2)2 |
|
|||
x!0 |
x!0 |
|||
òî
482.
sin(x=2) lim (x=2) x!0
sin(x=2) |
|
|
|
sin2 x |
|
|
|||
|
|
|
= 1; |
lim |
|
= 1; |
lim cos x = cos 0 = 1; |
||
|
|
x2 |
|||||||
|
(x=2) |
x!0 |
|
x!0 |
|||||
|
lim |
tg x sin x |
= |
1 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x!0 sin3 x |
2 |
|
|
|
||||
x!a |
x a |
|
0 |
x!a |
2 sin x a cos x a |
|
t 0 |
|
t!0 |
t=2 |
t!0 |
|||||||||||||
|
x a |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
lim |
sin x |
sin a |
= |
0 |
= lim |
2 |
|
|
= |
x a = t |
|
= lim |
sin(t=2) |
|
lim cos(t=2) = 1: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x!0 |
x |
|
|
t ! 0 |
= t!0 |
tg t |
t!0 |
|
t!0 |
t |
|
||||||||||||
6. lim |
arctg x |
= |
0 |
= t = arctg x |
|
lim |
t |
= lim cos t : lim |
sin t |
= 1: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
20.2.Эквивалентные бесконечно малые функции
Пусть (x) и (x) бесконечно малые функции при x ! a. Если
lim (x) = 1;
x!a (x)
то говорят, что (x) и (x) э к в и в а л е н т н ы е бесконечно малые функции при x ! a, и обозначают (x) (x) при x ! a.
При вычислении пределов произведения функций и частного функций можно заменять функции э к в и в а л е н т н ы м и.
При вычислении суммы и разности заменять эквивалентными нельзя! Из первого замечательного предела следует, что
sin x x ïðè x ! 0, |
|
|
|
|
|
|
sin (x) (x) ïðè (x) ! 0; |
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
x ïðè x |
, |
|
|
|
|
|
|
tg (x) |
|
(x) ïðè (x) |
! |
0; |
|||||||||||||
tg |
|
|
|
x2 |
! 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x) |
|
|
|
|||||||
1 cos x |
|
|
ïðè x ! 0, |
|
|
|
|
|
1 cos (x) |
|
|
|
ïðè (x) ! 0; |
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
arcsin x x ïðè x ! 0, |
|
|
|
|
|
arcsin (x) (x) ïðè (x) ! 0; |
||||||||||||||||||||||
arctg x x ïðè x ! 0, |
|
p |
|
|
|
arctg (x) (x) ïðè (x) ! 0; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 + x 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из замечательного предела lim |
|
= |
|
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
ïðè |
|
x!0 |
|
|
n |
|
|
|
|
(x) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x 1 |
|
|
|
x ! 0 |
|
|
|
|
|
|
p1 + (x) 1 |
|
|
|
ïðè (x) ! 0. |
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
p |
|
|
p3 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 2. 495. |
lim |
sin |
|
; |
|
|
|
|
|
501. |
cos x |
cos x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x! 3 |
|
|
|
|
2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
495. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
sin |
x 3 |
= |
|
0 |
|
|
|
= |
x 3 |
= t |
= lim |
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
sin t t |
|
= |
|
|||||||||||||||||||
|
1 2 cos x |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 cos |
3 |
+ t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x! 3 |
|
|
|
t |
! |
t!0 1 |
|
|
|
ïðè t |
! |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= 1 |
|
|
||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
cos t |
|
|
|
sin t |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
t |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
! |
|
|
1 |
2 |
2 cos t |
|
|
sin t |
|
|
! |
|
1 |
cos t + p3 sin t |
|
|
! |
|
|
t |
+ p3 |
t |
|
|
p3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
òàê êàê
89
|
|
|
1 |
|
cos t |
= > |
1 cos t |
t2 |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
2 |
|
|
|
lim |
|
= lim |
|
= 0; |
|
|
|
|
lim |
= 1: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t!0 |
|
|
|
|
ïðè t |
|
! |
0 |
> |
= t!0 |
|
|
|
|
|
t!0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t!0 |
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 + |
|
|
( |
) 1 |
( |
|
) ! 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
501. Поскольку lim (cos x |
|
|
|
|
1) = 0 è |
n |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðè x |
|
, òî |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
p1 + (cos x 1) 1 |
|
(cos x 1) = |
|
|
ïðè |
|
|
|
x ! 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p3 1 + (cos x 1) 1 |
|
(cos x 1) = |
|
|
|
ïðè |
|
|
|
x ! 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тогда |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
ïðè t ! 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
pcos x |
p3 cos x |
= |
|
|
0 |
|
|
= |
|
|
|
sin t |
t |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!0 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 6 |
|
12 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1) |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + (cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 + (cos x |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
|
: |
||||||||
20.3.Задачи для самостоятельной работы
474.2, 476-480, 484, 488, 492, 493, 497, 499, 502-505.
Номера задач даны согласно учебному пособию:
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.