Вопрос 1-15

Вопрос 1-15. Методика изучения элементов алгебры

В курсе математики начальной школы учащиеся знакомятся с тремя основными группами алгебраического материала:

1)выражения (числовые и буквенные);

2)равенства и неравенства;

3)уравнения.

В математике под выражением понимают, построенную по определенным правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Выражения вида 7+4; (5+3)+10- называют числовыми: 8-я; 50:с- буквенными или выражениями с переменной.

В методике ознакомления учащихся с понятием числового выражения можно выделить три этапа:

1этап. Выражения, содержащие одно арифметическое действие: 5+2; 6-4(1 кл) 3x2; 15:5 (2 кл).

2этап. Выражения, содержащие два или больше арифметически действий одной ступени:

4+5-3 8:2x3

10-(3+4)(1 кл) 3x2x4(2 кл)

3этап. Выражения, содержащие два и больше арифметических действий разных ступеней: 6x3+10; 4x8+16:2

Вводятся термины "выражение", "значение выражения», правила чтения выражений, правила выполнения действий в выражениях со скобками и без скобок. Выражения, содержащие несколько действий, впервые могут появиться только со скобками. Сложные выражения получаются тогда, когда вместо одного или обоих чисел, входящих в простое выражение, берут выражение, но при этом данное выражение обязательно заключают в скобки.

Понимание учащимися принципов составления выражения, усвоения всех случаев упрощения ведет к пониманию структуры выражений, а в дальнейшем к осознанному формулированию и применению правил выполнения действий.

Одна из основных задач изучения данной темы - познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий в выражениях и сформировать у них умения пользоваться ими.

Анализ правил, приведенных в учебниках математики для начальных классов, позволяет выделить те основные признаки выражений, на которые учащиеся могут ориентироваться при вычислении их значений. А именно: выражения без скобок и со скобками, содержащие только сложение и вычитание, или только умножение и деление; выражения, обладающие признаками наличия скобок и всех четырех арифметических действий.

Следует иметь в виду, что еще в 1 классе они познакомились с тем, что действие, записанное в скобках, выполняется первым. Необходимость введения этого правила обусловливалась изучением свойств арифметических действий.

Для подготовки учащихся к восприятию правил как общего способа действий при вычислении значений выражений нужно научить их анализировать различные числовые выражения с точки зрения тех признаков, на которые с ориентировано каждое правило.

В учебниках, разработанных Истоминой Н.Б., для этой цели разработаны специальные задания вида:

-Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются?

Затем работа может быть направлена на формирование умения соотносить данное выражение с определенным правилом, которым следует руководствоваться при вычислении его значения.

При вычислении значений выражений некоторые учащиеся, правильно расставив порядок выполнения действий, допускают ошибки, связанные с выбором чисел, с которыми эти действия нужно выполнять.

Для предупреждения этой ошибки полезно использовать такой прием:

3 4 1 5 2

63 : 7 + (20 - 5) - (9 + 6) = 9

В прогрессе изучения данной темы учащиеся совершенствуют вычислительные навыки. Для этой цели предлагаются упражнения на вычисление значений выражений, задания с различными способами решений, требующие от учащихся выполнения рассуждений.

Для чтения сложных выражений используют следующий алгоритм:

1 Определяем, какое действие в выражении выполняется последним;

2) вспоминаем название компонентов действий;

3)называем, чем выражены компоненты. Формирование понятия переменной включает 3 этапа.

1этап. Упражнения, раскрывающие понятие переменной, -упражнениях пропуском чисел, с "окошками".

2 этап. Введение букв как символов для обозначения переменной.

З этап. Буквенная символика используется как средство обобщения знаний о свойствах действий, взаимосвязях действий, взаимосвязях компонентов действий (по классической программе не используются).

Равенства и неравенства.

Равенство- это любые два числа или число и выражение, соединенные знаком равно. Равенство может быть истинным или ложным (верным или неверным). Это результат сравнения двух одинаковых чисел или выражений, имеющих одинаковое значение.

Неравенство- это результат сравнения двух неодинаковых чисел или выражений имеющих разные математические значения.

Существуют разные способы сравнения чисел (смотри "Нумерацию чисел").

При сравнении математических выражений используется 2 способа:

I.способ. Сравнение выражений осуществляется на основе сравнении их значений. При сравнении дается памятка:

7+6* 14-6

1.Найди значение математического выражения, вычислив левую часть.

2.Найди значение математического выражения, вычислив правую часть.

3.Сравни два числа.

II способ. Сравнение выражений проводится на основе знания теоретического материала. При этом детям дается установка: сравни не вычисляя. Вычисление результатов можно выполнить для проверки результата сравнений. Рассмотрим примеры:

1. 5+4 * 5-4 (сумма двух чисел всегда больше их разности) Теоретическая основа сравнения - конкретный смысл действий сложения и вычитания.

2. 8-2 * 8-3 (уменьшаемые одинаковы, вычитаемое в правой части на1больше, значит, разность будет на 1 меньше)

Теоретическая основа - изменение результатов в зависимости от изменения одного из компонентов.

3) 7x6= 6x7 Теоретическая основа - переместительное свойство умножения.

1. 27x0=27x1 Теоретическая основа - правила.

2. 8x3*8x4 8+8+8*8x2

Теоретическая основа - конкретный смысл действия умножения.

6) (4+2)хЗ * 4x3+2x3

Теоретическая основа - свойство действия умножения, умножение суммы на число.

Уравнения.

Знакомство с уравнениями в начальной школе можно представить в виде следующей схемы:

І часть х+3=7 5-*=2"	І І часть Х+4=6 3+х=8	Ш часть Х+12=45 ХхЗ=21 43-х=40 5хХ=40	I Участь Х=312=654+79 729-х=217+163
х-3=5 Решение на основе знания состава числа	Х-5=2 10-х=4 Решение- способом подбора	х-8=32 40:х=8 35-х=20 х:4-7 Решение на основе знания взаимосвязи между результатами и компонентами действий	х-137=500-140 6хУ=429+120 х: 18=270-50 360:х=630:7 Упрощение выражения в правой части Решение выполняется на основе знания Взаимосвязей между компонентами и результатами действий.

Методика работы по обучению решению уравнений строится в 3 этапа.

I. Подготовительный этап.

На этом этапе выполняются следующие виды упражнений:

1. решаются способом подбора примеры с пропуском числа вида:  +3=7

2. раскрывается связь между результатами и компонентами действий

3. вводится буквенное обозначение переменной, значение буквенных выражений находят при заданных числовых значениях букв.

II Ознакомление.

В начальном курсе математики вводится уравнения как равенство, содержащее букву. Решить уравнение - значит узнать, при каких значениях буква уравнение обращается в верное равенство

. Сначала вводятся уравнения, содержащие три компонента. Вводятся уравнения в таком порядке:

-на нахождение1 слагаемого и 2 слагаемого;

- на нахождение уменьшаемого, вычитаемого;

- на нахождение неизвестного множителя;

-делимого, делителя.

Решение уравнений выполняются двумя способами: способом подбора и на основе знания взаимосвязи между результатами и компонентами действий.

Начинать необходимо со способа подбора, т.к.он формирует осознанный и математически верный подход к решению уравнений.

Ученик сразу ориентируется на то, что подобранное число надо проверить. Так, решая уравнение х+2=5, ученик пробует числа 1,2,3.

Даже, если ученик сразу находит ответ, его нужно доказать.

При подборе важно определить с какого числа целесообразно начинать сравнение.

Уравнения, содержащие число в пределах 100, следует решать на основе знания взаимосвязи между результатами и компонентами действий.

В процессе решения можно ввести памятку:

1.Прочитай уравнение. 2.Назови числа (компоненты). 3.Что известно. 4.Что неизвестно.

5.Как найти. 6.Реши. 7.Сделай проверку.

В 4 классе усложняется структура решаемых уравнений.

Даются уравнения, в которых правая часть представлена выражением.

x8=246-86

Для того, чтобы решить уравнение, нужно преобразовать его в знакомый вид, т.е. найди значение выражение в правой части, а затем решить его на основе знания взаимосвязи.

Это способствует формированию у детей понятий "равенство", "левая и правая части равенства".

Некоторые уравнения решаются на основе знания теоретического материала.

Например:

1)99+х=100 - знание принципа образования натуральной последовательности.

2)292-х=200 знание разрядного

3)х+20+9=829 состава чисел

4)35+х=35+37 переместительное свойство сложение

III. Закрепление.

Даются задание творческого характера для формирования умения решать уравнения разными способами.

Возможны другие подходы к изучению данной темы.

Несколько другой подход рассматривается по программе развивающего обучения Занкова Л.В., отраженная в учебниках, разработанных Аргинской И.И.

Впервые встречаются с уравнением в первом классе при изучении действий сложения и вычитания; в связи с необходимостью осознания связи между действиями плюс и минус; умножение и деление.

Даются простейшие уравнения вида : а+х=в; а-х=в; х-а=в; аx=в: а:х=в, которые решаются на основе знания взаимосвязи между результатами и компонентами действий.

Во втором классе решаются более сложные уравнения, содержащие два-три действия; решаются они на знании взаимосвязи, хотя уже здесь желательно использование других знаний.

(а + 14) - 7 = 13 (а + 14) - 7 = 13

а + 14 = 13 + 7 а + (14 - 7) = 13

а + 14 = 20 а + 7 = 13

а = 6 а = 6

Уравнение слева решается на основе знания взаимосвязи, в уравнении справа сначала применяется свойство вычитания числа из суммы, затем знание взаимосвязи.

В третьем классе цель работы меняется. Большинство заданий дается по следующему плану: предлагается уравнение, способ которого неизвестен и другое уравнение, в котором есть то или иное усложнение по сравнению с первым.

Основная проблема, которую нужно решить – установить, в чем заключено усложнение и найти путь преобразования, который позволит из более сложного уравнения получить более простое.

Основной способ решения уравнений на основе использования основных свойств равенств.

В соответствии с методикой, разработанной Л.Г. Петерсон, Ю.М. Колягиным, учащиеся решают уравнения на основе введения понятий "целое" и "часть".

В каждом уравнении дети находят части и целое, а затем применяют одно из правил:

1. целое равно сумме частей;

2. чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

При этом компоненты действий можно отметить на чертеже:

Х + 8 =12 х - 6 = 9 14 - х = 5

Х 8

Х=12 - 8 х= 6 + 9 х = 14 - 5

Х = 4 х = 15 х = 9

3