Вопрос 1-16

1. Вопрос 1-16. Величины, их единицы измерения и соотношения между ними (длина, масса, время, емкость, площадь).

В величинах отражены свойства различных объектов, явлений реального мира. Так, например, свойству пространственной протяженности соответствует длина, свойству инертности - величина, называемая массой. Понятие величины формировалось постепенно в результате абстрагирования от качественных особенностей, свойств реальных объектов, в результате чего выделились только количественные отношения.

Величины - это не сама реальность, а лишь ее отображения, но они верно отражают свойства окружающей действительности.

Имеющийся у ребенка опыт позволяет осознать значимость данного понятия, связать его с реальными предметами и явлениями, перевести имеющиеся житейские понятия на язык математики. Дети встречаются с необходимостью сравнивать реальные предметы между собой по определенным признакам.Предметы можно сравнить по размеру, цвету, форме и т.д. Среди всех характеристик реальных предметов, обладающих определенными свойствами, выделяются такие, относительно которых можно ввести отношения "больше", "меньше" (2 карандаша по длине, 2 книги - по массе неодинаковы.)

В настоящее время в математике определено несколько подходов к понятию скалярной величины: в одних случаях она определяется как функция с заданными свойствами, в других как множество с некоторой совокупностью свойств. Ни один из таких подходов не приемлем в обучении младшего школьника, так как любая аксиоматика скалярных величин обладает высоким уровнем абстракции.

Задача состоит в том, чтобы выработать интуитивно понятный учащимся способ изложения, не противоречащий дальнейшим уточнениям понятия, в результате чего у детей формируется представление о величине как о некотором свойстве предметов и явлений, которое связано с измерением. Хотя формирование представлений о каждой конкретной величине имеет свои особенности, целесообразно выделить общие этапы, которые соблюдаются при изучении каждой величины:

I. Выяснение и уточнение имеющихся представлений о данной величине. Введение понятия и знакомство с термином.

II. Сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путем использования различных мерок).

III. Знакомство с единицей измерения данной величины и с измерительным прибором.

IV. Формирование измерительных умений и навыков.

V. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

VI. Знакомство с новыми единицами измерения величины в связи с изучением нумерации по концентрам, перевод однородных величин, выраженных в единицах двух наименований , в единицы одного наименования.

VII. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

VIII. Умножение и деление величины на число.

На примере длины отрезка на основе предметной деятельности с опорой на конкретно-чувственное восприятие. Представляется возможность познакомить младших школьников со свойствами, общими для большинства скалярных величин. С таких же позиций рассматриваются другие скалярные величины и их свойства.

Действия над величинами и их отношения равносильны аналогичным действиям и отношениям с их числовыми значениями.

1. Если величины а и в измерены при помощи одной и той же единицы, то отношение между ними (а и в) будут такими же, как и отношения между их числовыми значениями, и наоборот.

Например, если массы двух предметов таковы, что а= 5 кг, в= 3 кг, то

а > b, т.е. 5 > 3.

2. Если величины а и в измерены при помощи одной и той же единицы, то, чтобы найти числовое значение суммы а + в, достаточно сложить числовые значение а и в.

Если а= 7 кг, в= 5 кг, то а + в = 7 кг + 5 кг = 12 кг

3. Если величины а и d таковы, что d = ах, где х - неотрицательное число, то, чтобы найти числовое значение величины d, достаточно числовое значение величины а умножить на число х.

Например, если масса d в 3 раза больше массы а и а= 3 кг, то d = 3 кг х 3 = 9 кг

В начальной школе можно ввести свойства отношений между величинами (термины не давать).

1. Симметричность равенства: если а = в, то в = а.

Так, если длина одного отрезка равна длине второго отрезка, то и длина второго отрезка равна длине первого отрезка.

2. Антисимметричность неравенства: если а > b, то b< а, (если одна величина, больше второй, то вторая меньше первой).

Так, если масса арбуза больше массы тыквы, то масса тыквы меньше массы арбуза.

3. Транзитивность равенства: если а = в, в = с, то а = с.

Так, если площадь одной фигуры равна площади второй фигуры, а площадь второй фигуры равна площади третьей фигуры, то площадь первой фигуры равна площади 3 фигуры.

4. Транзитивность неравенства: если а > b, b > c, то а > с.

Так, если емкость одного сосуда больше емкости второго сосуда, а емкость второго сосуда больше емкости третьего, то емкость первого больше емкости 3.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1. Величина - это свойство предметов, которое может быть измерено и результат измерения выражен числом.

2. Длина, масса, емкость, время, площадь - являются величинами.

3. Чтобы измерить величину, надо выбрать мерку и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой величине, т.е. сравнить с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Величины могут быть разных родов.

4. Если изменяется мерка, то изменяется и значение величины. Поэтому сравнивать, складывать и вычитать величины можно только тогда, когда они измерены одной и той же меркой.

5. Числовые значения скалярных величин получаются в результате измерения; запись числового значения величины осуществляется с указанием единицы измерения.

6. Ошибка - непонимание разницы между величиной и единицами измерения величины.

Например, длина - это свойство предметов, характеризующее его протяженность. Сантиметр и другие единицы измерения длины - это отрезки, которыми измеряется длина.

7. Формирование представлений о величине связанно с изучением

нумерации десятичной системы счисления, с формированием

представлений о числе, т.к.

а)число получаем в результате измерения (т.е один из способов образования числа);

б)усваивается структура двузначных, трехзначных и др. чисел:

12 см = 1 дм 2 см

125 дм = 1 м 2 дм 5 см и т.д.

В)отношения между единицами измерения так же как отношения между разрядными единицами

1 десяток = 10 единиц

1 дм - 10 см и т.д.

В результате у детей формируется представление о скалярной величине как об элементе множества скалярных величин; о том, что величины эти могут быть разных родов. Если они одного рода, то их можно сравнивать, складывать и вычитать, причем складывать можно в любом порядке; числовые значения скалярных величин получаются в результате измерений; запись числового значения величины осуществляется с указанием единицы измерения.

1