Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

ru

85

7.5.1. Эллипсоид

.

Эллипсоидом называется поверхность вто-

О

рого порядка с каноническим уравнением

x2

+

y2

+

z2

=1.

antigtu

a2

b2

c2

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью

z = 0 . Линия пересечения эллипсоида и плоско-

сти задается системой уравнений:

2

y

2

z

2

x

2

y

2

x

+

+

=1

или

+

=1,

b2

c2

b2

a2

a2

= 0

= 0.

z

z

Очевидно, что линия пересечения – эллипс с полуосями а и b.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью

z = h . Линия пересечения

задается системой уравнений:

2

2

2

x2

y2

x

+

y

+

z

=1

+

=1,

или

2

2

b2

a2

c2

1

b1

z = h

z = h.

где a = a

1 − h

2

; b = b

1 − h

2

. Таким образом, если 0 < h < c , то сечение –

1

c

2

1

c2

Скачано

эллипс с полуосями

a1

< a;

b1 < b . Если h = c , сечение – точка с координатами

(0,0,c). Если h > c ,

система решенийс

не имеет, т.е. исследуемая поверхность

не имеет общих точек с рассматриваемой плоскостью.

Аналогично

рассматриваются

сечения

поверхности S плоскостями

x = const ,

y = const .

Величины a,b,c

азываются полуосями эллипсоида. Если все они раз-

86

ru

Лекция 7

Гиперболоиды

.

7.5.2. Однополостный гиперболоид

Однополостным

гиперболоидом

называется

О

y

− z

=1,

antigtu

поверхность второго порядка с каноническим

уравнением

x2

y2

z2

a2

+

b2

−

c2

=1.

Линия пересечения гиперболоида и плоскости

z = 0

2

y

2

z

2

задается системой уравнений:

x

+

−

=1,

опре-

a2

b2

c2

= 0,

z

деляющей эллипс с полуосями а и b.

2

y

2

x

+

=1,

В

сечении

плоскостью

z = h

имеем

эллипс

2

b

2

с полуосями

a

1

1

z = h,

a = a

1 +

h2

и

b = b

1 +

h2

Сечение

поверхности

S

плоскостью

.

1

1

с

c2

c2

2

2

x = 0 :

b2

c2

являет я гиперболой

действительной осью Oy и мнимой

Скачано

x

= 0

y = 0 -

осью Oz . Сечение S плоскостью

гипербола с действительной осью

Ox и мнимой осью Oz .

При a = b получается

дн п лостный гиперболоид вращения.

Покажем, что од ополостный гиперболоид также является линейчатой

поверхностью, для чего перепишем уравнение в виде

x2

z2

y2

x

z

x

z

y

y

a

2

−

c

2

=1 −

b

2

−

c

+

= 1 −

b

1

+

b

.

a

a

c

Рассмотрим две системы линейных уравнений

x

z

y

x

z

y

v

+

= u 1 +

,

v

+

= u

1

−

,

b

a

c

b

a

c

x

z

y

x

z

y

u

−

= v 1

−

,

u

−

= v

1

+

,

a c

b

a c

b

где u и v

- параметры,

не равные нулю.

Каждая из этих систем определяет

Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

87

ru

проходят две прямые, называемые прямолинейными образующими одно-

полостного гиперболоида, он имеет два семейства

.

прямолинейных обра-

О

Двуполостным гиперболоидом называется по-

верхность второго порядка с каноническим урав-

нением

x2

y2

z2

+

−

= −1.

a2

b2

c2

Линия пересечения гиперболоида и плоскости

z = 0

2

с

2

задается системой уравнений:

x

+

y

= −1,

a2

b2

antigtu

Скачано

= 0,

z

которой соответствует пустое множество.

x2

+

y2

=

z2

−1,

В

сечении

плоскостью

z = h

имеем

кривую

b 2

c2

или

a 2

z = h

2

2

x

+

y

=1,

h2

h2

2

2