разом, получено равенство

(x − p)2

+ y2 = p + x

или (x − p)2 + y2 =ru

( p + x)2 ,

Аналитическая геометрия на плоскости

75

Каноническое уравнение параболы может быть получено непосредст-

венно из определения параболы.

JJJJG

.

JJJJG

JJJJG

JJJJG

p

p

2

2

По определению

FM

=

MK

.

MK

=

+ x ,

FM

=

(x −

)

+ y

Таким об-

2

2

2

2

2

2

с

antigtu

6.4. Преобразования координат

6.4.1. Параллельный перенос

Перенесём начало координат из точки О в точку

Скачано

x = x′+ x0 ,

(1)

y = y′+ y0 ,

x′ = x − x ,

0

(2)

y′ = y − y0.

ния координат при параллельном переносе осей (2).

(x − x )2 + ( y − y )

2 = R2

- уравнение окружности с

0

0

antigtu

центром в точке O1(x0,y0) и радиусом R.

.

ru

Аналогично

получаются

уравнения

других

кривых второго порядка:

(x − x )2

±

( y − y )2

=1 - уравнения эллипса и гипер-

0

0

a2

b2

болы с центром симметрии в точке O1(x0,y0);

( y − y

)2

= 2 p(x − x )

- уравнение параболы с вер-

0

0

шиной в точке O1(x0,y0).

x − x = ± a

При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы:

,

0

e

p

а параболы:

x − x

= −

. Аналогично преобразуются и уравнения асимптот

0

2

гиперболы:

y − y

0

= ± b (x − x ) .

a

0

с

6.4.2. Поворот координатных о ей

Выведем формулу преобразования координат

Скачано

при повороте координатных о ей.

Повернём оси координат на угол α относительно

исходной системы к

рдинат.

К рдинаты точки

М в системе координат x′Oy′ равны x′ и y′. Найдём

её координаты в системе к

рдинат xOy.

В тре-

угольнике CMD CMD = α , OD = x′, MD = y′.

Следовательно,

x = OA = OB – AB = OB - CD,

y = MA = AC + CM = DB + CM.

Поскольку

′

′

sinα,

OB = x cosα, CD = y

′

cosα, DB

′

CM = y

= x sinα,

то

′

′

sinα,

x = x cosα

− y

(3)

′

′

cosα.

y

= x sinα

+ y

Аналитическая геометрия на плоскости

77

y′ = −xsinα + y cosα.

ru

.

том новой на угол (-α), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами

старые и новые координаты, заменяя одновременно α на (-α).

Выполнив это преобразование, получим

antigtu

x′ = xcosα + ysinα,

с

угол α, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразова-

ния координат, выражающие старые координаты через новые:

′

′

sinα + x0 ,

x = x cosα

− y

(4)

′

′

cosα + y0 ,

y = x sinα

+ y

Скачано

и новые координаты через старые:

x′ = (x − x

)cosα + ( y − y

)sinα,

0

0

(5)

y′ = −(x − x0 )sinα + ( y − y0 )cosα.

78

ru

Лекция 6

Уравнения, определяющие центр кривой, если он существует, записываются как

Ax0

+ By0

+ D = 0,

.

(6)

+ Cy0 + E = 0.

Bx0

antigtu

Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.

После переноса начала координат в центр (x0,y0) уравнение кривой примет вид

Ax

′2

+

′ ′

+Cy

′2

+ F1 = 0 ,

(7)

2Bx y

где F1 = Dx0 + Ey0 + F .

Чтобы получить каноническое уравнение кривой

′′ 2

′′

2

+ F2 = 0 ,

A1 (x )

+ C1 ( y )

подвергнем уравнение (7) преобразованию поворота осей координат на угол α .

После преобразования получим:

x′ = x′′cosα − y′′sinα,

y′ = x′′sinα + y′′cosα,

где x′′, y′′ - новые координаты.

Выпишем из преобразованного уравнения слагаемые второго порядка:

A(x′′cosα − y′′sinα)2 + 2B(x′′cosα − y′′sinα)

(x′′sinα + y′′cosα) +C(x′′sinα + y′′cosα)2 .

Из этих слагаемых нас интересует слагаемое,

содержащее произведение x′′ y′′ ,

коэффи-

циент перед которым равен

B = −2Asinαcosα + 2B( cos2α −sin2α ) +

1

Скачано

+2Csinαcosα = 2Bcos2α +( C − A )sin2α.

Найдём угол поворота из усл вия В1=0:с2B cos 2α = ( A −C)sin 2α .

Если А = С, то cos 2α = 0 и в качестве угла поворота можно выбрать α =

π ; если

A ≠ C , то выбираем α = 1 arctg

2B

4

.

2

A −C

6.5*. Линии в полярной системе координат

6.5.1*. Полярные координаты на плоскости

Полярные координаты определяются заданием на

плоскости полюса О и полярной оси ρ.

Координ ты точки М в полярных координатах задаются

= ρ

этой точки и углом его

длиной р диус-вектора

OM

0 ≤ ρ ≤ ∞, 0 ≤ ϕ ≤ ∞

на лона полярной оси. При этом

.