Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

55

5.1. Основы аналитической геометрии

5.1.1. Уравнение поверхности

Аналитическая геометрия ставит своей задачей изучение геометриче-

ских объектов с помощью аналитического метода. Геометрические объек-

ты: точка, линия, поверхность.

.

ru

Точка. Задается аналитически совокуп-

ностью чисел: одного - для точки на прямой;

двух - для точки на плоскости; трех - для точ-

ки в пространстве. Эти числа называются ко-

ординатами.

Введем в пространстве декартову прямо-

угольную систему координат, т.е. зададим на-

G

G

G

чало координат 0, базис i

j

k , оси Ox, Oy, Oz.

Декартовыми координатами точки М называются декартовы коорди-

О

JJJJG

наты ее радиус–вектора

OM ={ x, y, z }.

Более сложные геометрические объекты задаются уравнениями, связы-

вающими координаты точек, принадлежащих данному объекту. Эти

уравнения реализуют условия принадлежности точки данному геомет-

рическому объекту.

Пусть задано уравнение: F (x, y, z) = 0antigtu(*) и поверхность S. Поверхность

S - есть геометрическое ме то точек, определяемое уравнением (*), если

координаты точек поверхности S удовлетворяют уравнению (*), а коор-

динаты любой точки, не лежащей на ней, - не удовлетворяют.

с

О

Поверхность, определяемая в декартовой системе координат алгебраиче-

ским уравнением n–й степени, называется алгебраической поверхно-

стью n–го порядка.

5.1.2. Уравнения линии

В аналитической геометрии каждая линия в пространстве рассматрива-

Скачано

56

Лекция 5

5.2. Плоскость в пространстве

5.2.1. Плоскость как поверхность первого порядка.

Общее уравнение плоскости

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением

Т

первой степени и каждое уравнение первой степени определяетru

плос-

кость.

.

Возьмем на плоскости P произвольную точкуM0 (x0 , y0 , z0 ) . Выбе-

рем вектор n ={A, B,C}, перпендикулярный плоскости (нормальный

вектор). Пусть M (x, y, z ) – произвольная точка плоскости P . Точка M

принадлежит плоскости P (записывается: M (x, y, z ) P ) тогда и только

JJJJJJG

G

JJJJJG

G

тогда, если M

M

n

=> (M

M

n) = 0 .

0

0 JJJJJG

={x

− x , y − y

, z − z

},

то

скалярное

Так как nG ={A, B,C},

M

0

M

произведение

0

0

0

G

JJJJJG

) + C(z − z

) .

(n

M

0

M ) = A(x − x ) + B( y − y

0

0

0

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (x0 , y0 , z0 )

с нормаль-

ным вектором nG ={A, B,C}, имеет вид:

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 .

Раскрывая скобки и

обозначая

antigtu

−Cz0

, получим

через D = −Ax0

− By0

уравнение первой степени (так называемое об-

щее уравнение плоскости):

с

Ax + By +Cz + D = 0 .

Составим, например, уравнение плоскости, про-

ходящей через точку

M (1,1,1) перпендикулярно

к вектору nG ={2,2,3}.

Искомое ур внение примет вид:

2(x −1)+ 2(y −1)+ 3(z −1)= 0 ,

2x + 2 y +3z −7 = 0 .

Если два уравнения A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 оп-

С

ределяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты их пропорциональ-

ны:

Скачано

A1

=

B1

=

C1 =

D1

.

A

B

C

2

D

2

2

2

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

ru

57

оно называется неполным.

antigtu

B = 0, C = 0: Ax + D = 0

Рассмотрим частные случаи уравнения первой степени

Ax + By +Cz + D = 0 .

D = 0: Ax + By + Cz = 0

- плоскость, проходящая через .

А = 0: By + Cz + D = 0

- n ║YOZ → P ║ OX;

B = 0: Ax + Cz + D = 0

- n ║XOZ → P ║ OY;

C = 0: Ax + By + D = 0

- n ║XOY → P ║ OZ.

A = 0, B = 0: Cz + D = 0

- n ║OZ → P ║ XOY;

A = 0, C = 0: By + D = 0

с

- n ║OY → P ║ XOZ;

- n ║OX → P ║ YOZ.

Эти уравнения определяют координатные плоскости XOY, XOZ,YOZ:

Скачано

- плоскость XOY;

A = 0, B = 0, D = 0: Cz = 0

A = 0, C = 0, D = 0: By = 0

- пл скость XOZ;

B = 0, C = 0, D = 0: Ax = 0

- пл скость YOZ.

кости:

Ax + By +Cz = −D,

Ax

+

By

+

Cz

=1,

−D

−D

−D

x

y

z

+

+

=1.

−

D

−

D

−

D

A

B

C

58

Лекция 5

Уравнение

x

+

y

+

z

=1 называется уравнением плоскости «в отрезках».

a

c

b

Параметры a = −D

,

b =

−D

, c =

−D

представляют собой координаты точек

A

B

C

antigtu

пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до зна-

ка) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях.

ru

Пусть, например, точка лежит на оси Оx и плоскости Р.,

т.е. y0

= z0 = 0 .

Тогда

x0

=1, откуда

x = a .

a

0

Пример:

Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость

2x – 4y + 6z –12 = 0?

Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:

2x

−

4 y

+

6z

=1

x

+

y

+

z

=1.

12

−3

12

12

6

2

Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6 ,

b = −3 , c = 2 .

Отрицательный знак перед b показывает, что плоскость пересекает от-

рицательную полуось Oy .

5.2.4. Нормальное уравнение плоскости

Пусть Р – основание перпендикуляра, опущен-

ного из начала координат на пло ко ть, а M (x, y, z )

Скачано

JJJG

– произвольная точка

плоскости

(OM ={x, y, z}),

длина вектора

JJJG

= p ,

nG

с

OP

– единичный вектор нор-

0

nG

JJG

мали к плоскости,

=1,

n

={cosα,cos β,cosγ}.

0

o

Проекция радиус-вектора любой точки плоско-

сти на направле ие, задаваемое вектором n0

– вели-

JJJG

чина постоянн я, р вн я p: прnG0 OM = p ,

JJJJG

JJJJG

JJG

прG OM

= OM

n = xcosα + y cos β + z cosγ .

n

0

0