|
A1 |
|
B1 |
|
C1 |
|
|
|
|
|
ru |
63 |
Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве |
|
|
||||||||||
5.3.5. Общие уравнения прямой |
|
|
|
. |
|
|
||||||
Рассмотрим две плоскости: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A x + B y + C z + D = 0, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
Это равенство определяет пло ко ть, котораяantigtuпроходит через прямую L. Со- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. |
|
|
|
||||
Если |
A2 |
= |
B2 |
= |
, то плоскости параллельны. В противном случае плоско- |
|||||||
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
сти пересекаются и соответствующие уравнения определяют прямую линию пересечения плоскостей.
5.3.6. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
Пусть прямая L задана линией пересечения двух плоскостей:
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0,A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Возьмем любые отличные от нуля числа α и β и составим равенство
α( A1x + B1 y +C1z + D1) + β( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 .
вокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, назы-
вается пучком плоскостей. Если положить λ = β α , то уравнение |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
A1x + B1 y +C1z + D1 + λ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 |
|
|||||||||
определяет все плоск сти пучка, кр ме второй из задающих прямую. |
|||||||||||
5.3.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности |
|
||||||||||
и перпендикулярности двух прямых |
|
||||||||||
Пусть з д ны н пр вляющие векторы прямых |
|
||||||||||
L1 : aG1 ={l1,m1,n1}, L2 : aG2 ={l2 ,m2 ,n2}. |
ϕ |
||||||||||
Угол между прямыми принимается равным углу |
|
||||||||||
между н пр вляющими векторами: |
|
|
|
||||||||
cosϕ = |
|
|
|
l1l2 + m1m2 + n1n2 |
|
|
L1 |
L2 |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
l2 |
+ m2 |
+ n2 |
l2 |
+ m2 |
+ n2 |
|
||||
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|||
Скачано |
|
|
|
|
|
|
|||||
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
ru |
|
Лекция 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Прямые будут параллельны, если их направляющие векторы |
aG |
|
и |
aG парал- |
|||||||||||||||
|
l1 |
|
m1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
лельны, т.е. |
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
antigtu |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Прямые будут перпендикулярны, если их направляющие векторы перпенди- |
|||||||||||||||||||
кулярны, то есть, l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.4. Прямая и плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.4.1. Точка пересечения прямой и плоскости |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть даны уравнения прямой L и плоскости P : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L : |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P : Ax + By +Cz + D = 0.
Координаты точки пересечения прямой L и плоскости P должны одновре-
менно удовлетворять этим уравнениям. Перейдем к параметрическим уравне- |
|
ниям прямой: |
с |
|
|
x = x0 +lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt .
Подставляя их в уравнение пло ко ти P , получим значение параметра t, рав-
Скачано |
, подстановка которого в параметрические урав- |
ное t = − Ax0 + By0 + Cz0 + D |
|
Al + Bm + Cn |
|
нения прямой даст к рдинаты т чки пересечения прямой и плоскости.
5.4.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпе дикуляр ости прямой и плоскости
Из рисунка видно, что если ϕ – угол между
прямой и плоскостью, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
G |
G |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
|
|
|
|
−ϕ |
= sinϕ |
|
|
|
|||||||||
cos(n, a)= cosψ = cos |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinϕ = cos(π |
−ϕ) = |
|
|
|
Al + Bm + Cn |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
A |
2 |
+ B |
2 |
+ C |
2 |
|
l |
2 |
+ m |
2 |
+ n |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве |
|
|
|
65 |
||
Прямая L перпендикулярна плоскости P, если направляющий вектор пря- |
||||||
мой коллинеарен нормальному вектору плоскости, т.е. |
A |
= |
B |
= C . |
|
|
|
m |
|
|
|||
|
l |
n |
|
|
||
Прямая L параллельна плоскости P, если направляющий вектор прямой |
||||||
перпендикулярен нормальному вектору плоскости, |
|
(aG nG) = 0, |
т.е. |
|||
Al + Bm + Cn = 0. |
|
. |
ru |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
В результате изучения материала, изложенного в этой лекции, студент должен знать:
виды уравнений плоскости, назначение каждого вида, способ преобразования одного вида в другой;
виды уравнений прямой, назначение каждого вида, способ преобразования одного вида в другой;
способы решения стандартных задач, связанных с прямой и плоскостью:
(угол между плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью, |
||
условия параллельности и перпендикулярности этих объектов, |
||
расстояние от точки до плоскости, |
|
|
координаты точки пересечения прямой и плоскости). |
||
|
|
antigtu |
Скачано |
с |
|
|
|
|
Лекция 6 |
|
. |
ru |
|
|
||
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ |
|
||
|
|
||
НА ПЛОСКОСТИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
antigtu |
|
|
Лекция 6 посвящена аналитической геометрии на плоскости. Рассмотрены задачи, связанные с простейшими объектами на плоскости – точками и прямыми. Подробно анализируются кривые второго порядка: выводятся канонические уравнения кривых, исследуется их форма, обсуждаются элементы кривых. Показано, что преобразованиями координат, т.е. параллельным переносом и поворотом координатных осей общее уравнение второго порядка можно привести к каноническому виду. Заканчивается лекция рассмотрением линий в полярной системе координат и линий, заданных параметрически.
6.1. Простейшие задачи на плоскости 6.1.1. Расстояние между двумя точками
6.1.2. Деление отрезка в данном отношении 6.2. Прямая линия на плоскости
|
6.2.1. Общее уравнение прямой |
|
|
6.2.2. Каноническое уравнение прямой |
|
|
6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки |
|
|
6.2.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку |
|
|
|
с |
|
в заданном направлении |
|
|
6.2.5. Уравнение прямой в отрезках |
|
|
6.2.6. Нормальное уравнение прямой |
|
|
6.2.7. Расстояние от точки до прямой |
|
|
6.2.8. Координаты точки пере ечения двух прямых |
|
Скачано |
|
|
|
6.2.9. Угол между двумя прямыми |
|
|
6.2.10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых |
|
6.3. |
Кривые вт р го п рядка |
|
|
6.3.1. Эллипс |
|
|
6.3.2. Окружн сть |
|
|
6.3.3. Гипербола |
|
|
6.3.4. Парабола |
|
6.4. |
Преобразова ия координат |
|
|
6.4.1. П р ллельный перенос |
|
|
6.4.2. Поворот координатных осей |
|
|
6.4.3. Изменение начала координат и поворот осей |
|
6.4.4.* Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
6.5.* Линии в полярной системе координат 6.5.1.* Полярные координаты на плоскости
6.5.2.* Связь полярных координат с декартовыми 6.5.3.* Уравнения линий в полярной системе координат
6.6.* Параметрическое задание линий 6.6.1.* Окружность 6.6.2.* Циклоида 6.6.3.* Астроида