Аналитическая геометрия на плоскости

67

стояние между

ними равно

длине вектора

JJJJJJG

и может быть вычисленоru

M1M2 ={x2 − x1, y2 − y1}

по

формуле: d =

JJJJJG

=

(x2 − x1)

2

+

.

2

.

M1M2

(y2 − y1)

Точка M(x,y) делит отрезок M1M2 в отношении

JJJJJG

JJJJG

JJJJJG

M1M

λ , если

JJJJJJG

= λ . Тогда

M1M

= λ

MM2

, а отсюда

MM2

x − x1

=

y − y1

= λ,

и координаты точки М находят-

x − x

y

2

− y

2

x =

x1 + λ x2

1 + λ .

ся по формулам:

y =

y1 + λ y2

2с

antigtu1+ λ

2

Координаты середины отрезка С получают я при М1М=ММ2, то есть λ =1:

xc =

x1 + x2

, yc =

y1 + y2

.

Отметим, что число λ не зависит

т того,

как выбрано положительное на-

Скачано

правление на отрезке М1М2, так как при изменении направления на противо-

положное λ не ме яется.

68

ru

Лекция 6

6.2.2. Каноническое уравнение прямой

Если прямая проходит через точку

(x0,y0) параллельно направляющему

antigtu

в пространстве при z = 0 получаем каноническое и параметрические уравне-

ния прямой на плоскости в виде

x = x +lt,

.

x − x0

=

y − y0

и

0

l

m

y

= y0 + m ,

где t – параметр, t (−∞,∞) .

6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть на плоскости заданы две точки M1(x1,y1),

Y

M2

M2(x2,y2). Для того чтобы написать уравнение пря-

мой, проходящей через эти точки, полагаем в соот-

M1

ветствующем

уравнении

прямой

в пространстве

z = z1

= z2 = z3

= 0. Тогда получаем искомое уравне-

O

X

ние в виде

x − x1

y − y1

=

.

x

2

− x

y

2

− y

1

1

6.2.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Скачано

в заданном направлении

Пустьс

прямая составляет угол α с осью OX. Уг-

л вым к эффициентом прямой k называется число

k = tgα .

Прямая может быть задана точкой М1(x1,y1) и

угловым коэффициентом

k или

двумя точками

М1(x1,y1) и М2(x2,y2).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k

может быть получено из общего уравнения прямой

Ax+By+C=0,

если

B ≠ 0 ,

тогда

y = k x +b , где

k = −

А

и b = − C . Пусть прямая пересекает ось OY

B

B

Аналитическая геометрия на плоскости

ru

69

Отсюда

y2

− y1

= tgα = k. Таким образом,

y − y

= k(x − x ).

Уравнение

x2

− x1

1

1

6.2.5. Уравнение прямой в отрезках

.

Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 может быть преобразовано к виду

уравнения прямой «в отрезках»:

x

+

y

=1. Прямая в отрезках пересекает ось

a

b

OX в точке А(а,0) и ось OY в точке В(0,b).

Ax+By+C=0, умножив его

а ормирующий множитель µ = ±

1

. Знак

A2 + B2

числа µ должен быть противоположен знаку числа С.

Косинусы углов, обр зуемых прямой с осями координат, называются

направляющими косинус ми прямой.

Если угол между прямой и осью OX равен α и угол между прямой и

осью OY равен β, то cos2 α + cos2 β =1.

6.2.7. Р сстояние от точки до прямой

Р сстояние d от точки M0(x0,y0) до прямой, задаваемой нормальным

уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой δ, d = |δ|,

где

δ = x cosα + y sinα − p = ±

Ax0 + By0 +C

.

0

0

A2 + B2

Если прямые заданы уравнениями A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то ко-

ординаты точки их пересечения (x0, y0) получаются как решениеru

системы

уравнений:

.

A x + B y +C = 0,

1

1

1

A2 x + B2 y +C2 = 0

по формулам Крамера в виде:

B1

C1

C1

A1

A1

B1

x =

B2

C2

, y

0

=

C2

A2

, при

≠ 0.

0

A1

B1

A1

B1

A2

B2

А2

B2

A2

B2

6.2.9. Угол между двумя прямыми

Пу ть две прямые заданы уравнениями:

Острыйс

antigtu

y1

= k1x + b1,

y2 = k2 x + b2.

угол ϕ пересечения этих прямых (от-

считываемый против часовой стрелки) находит-

ся из следующих соотношений:

tgϕ = tg(α

2

−α )

=

tgα2 − tgα1

.

1

1 + tgα1 tgα2

Скачано

k2

− k1

Отсюда tgϕ =

.

1 + k

k

2

1

угловые коэффициенты прямых равны:

tgα = −

A1

,

tgα

2

= −

A2

и угол ϕ ме-

1

B1

B2

жду прямыми определяется формулой:

tgϕ =

A1B2 − A2 B1 .

A A

+ B B

1

2

1

2