Аналитическая геометрия на плоскости

ru

71

6.2.10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Прямые y1=k1x+b1 и y2=k2x+b2 параллельны друг другу, если ϕ = 0 . Сле-

довательно, tgϕ = 0 , то есть k1=k2.

antigtu

π . Сле-

Прямые y1=k1x+b1 и y2=k2x+b2 перпендикулярны друг другу, если ϕ =

1

.

2

довательно, tgϕ → ∞, то есть k1k2 = -1. Отсюда k = −

.

1

k2

Если прямые заданы общими уравнениями, то:

А1В1 – А2В1=0,

A1

=

A2

– условие параллельности,

B

B

1

2

А1А2+В1В2=0 – условие перпендикулярности прямых.

6.3. Кривые второго порядка

Кривые второго порядка на плоскости описываются алгебраическими

уравнениями второго порядка.

с

6.3.1. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место всех точек M (x, y), для

О

которых сумма расстояний до двух заданных точек F1 (+c,0) и F2 (−c,0)

Скачано

(называемых фокусами эллипса) постоянна

и равна 2a .

Каноническое

уравнение

эллипса

может быть получено неп средственно из

определения эллипса.

JJJJG

JJJJJG

По

определению

F1M

+

F2M

= 2a и

JJJJG

= 2c, где a > c . Воспользуемся форму-

F1F2

лой расстояния между двумя точками:

JJJJG

= (x −c)2

+ y2

= r1

,

JJJJG

= (x

+ c)2 + y2

= r .

F1M

F M

2

2

По определению r1 + r2 = 2a . Подставим в это равенство найденные r1

и r2 :

(x + c)2 + y2 + (x − c)2 + y2 = 2a .

72

Лекция 6

Проделаем очевидные преобразования:

ru

(x + c)2 + y2 = 2a − (x − c)2 + y2 ,

(x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a (x −c)2 + y2 +(x − c)2 + y

2 ,

a (x − c)2 + y2 = a2 − cx,

.

(a2 −c2 )x2 +a2 y2 = a2 (a2 −c2 ).

Так

как

a > c ,

то

положим a2 −c2 =b2 ,

тогда

b2 x2 + a2 y2 = a2b2 или

x2

+

y2

=1. Полученное уравнение называется каноническим уравнением

a2

b2

эллипса.

Элементами эллипса являются:

точка О - центр эллипса;

точки A, B, C, D - вершины эллипса;

точки F1 (+c,0),

F2 (−c,0)

- фокусы эллипса;

2c

-

фокусное

расстояние,

которое вычисляется

по формуле:

c =

a2 −b2

;

antigtu

AB = 2a и CD = 2b - большая и малая оси эллипса;

a и b - большая и малая полуоси эллипса;

e =

c

, ( e <1)- эксцентриситетс

эллипса,

который вычисляется по фор-

a

муле:

e = 1−

b2

.

a2

Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует

его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси.

Прямые, п р ллельные малой оси и отстоящие

от неё на р сстояние a / e, называются директри-

сами эллипса. Уравнения правой и левой директрис

эллипса имеют вид: x = ± a .

e

Отметим, что a > a , так как для эллипса e <1.

e

p =

b2

Фо альный параметр

- это половина хорды, проведённой через фо-

a

Скачано

Аналитическая геометрия на плоскости

73

6.3.2. Окружность

.

ru

Окружность представляет

собой

геометриче-

О

ское место точек, равноудаленных от точки О,

называемой центром окружности.

antigtu

Уравнение окружности можно получить из

уравнения эллипса при a = b = R: x2 + y2 = R2.

6.3.3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место всех точек M (x, y), для

О

которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных

точек F1 (+c,0) и F2 (−c,0) (называемых фокусами гиперболы) посто-

янна и равна 2a (a < c).

Каноническое

уравнение

ги-

перболы может быть получено непо-

средственно из определения гипербо-

лы. По определению

JJJJG

JJJJJG

= 2

F1M − F2M

JJJJG

и

F1F2

= 2c, где а<с.

Воспользуемся

формулой

рас-

Скачано

2 с

стояния между двумя точками:

JJJJG

=

(x − c)

2

+ y

JJJJG

= (x + c)

2

+ y

2

= r2 .

F1M

= r1 ,

F2M

По определению r1 − r2 = ±2a .

Подставим в это раве ство

айде ные r1 и r2:

74

Лекция 6

2 2

2

2 2 2 2

2

2

x2

y2

Так как c>a, то положим c

-a

=b

, тогда b x -a y

=a

b

или

−

=1.

a2

b2

Полученное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Элементами

.

ru

гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В -

вершины гиперболы; точки F1(+C,O) и F2(-C,O) - фокусы гиперболы; 2с -

фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле c =

b2 + a2 ; AB=2a

-

действительная

ось гиперболы; CD=2b - мнимая

ось

гиперболы;

b = c2 − a2 ;

e =

c

- эксцентриситет гиперболы, который вычисляется по

a

формуле: e =

1 +

b2

, e >1.

a2

Эксцентриситет определяется отношением осей

гиперболы и характеризует еe форму: чем

больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси

основной прямоугольник гиперболы.

Уравнения директрис гиперболы имеют вид:

x = ± a .

e

a < a , так как e >1.

antigtu

Отметим, что

e

Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограни-

ченно приближаются при удалении в бе конечность.

Скачано

b

С учётом того, что k = ±tgα = ±сa , уравнения асимптот гиперболы принима-

b

x .

ют вид y = ±

a

Фокальный параметр гиперболы p =

b2

.

a

6.3.4. Пар бола

Параболой

называется геометрическое

О

место точек

M (x, y), равноудалённых от