Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

ru

59

ному виду:

xcosα + ycos β + z cosγ − p = 0 . Так как эти уравнения определя-

ют одну и

ту

же плоскость,

то их коэффициенты пропорциональны:

cosα = µA,cos β = µB,cosγ = µC,−p = µD .

.

Из условия

cos

2

α + cos

2

β + cos

2

γ =1, которому удовлетворяют направляю-

щие косинусы вектора, следует, чтоµ2 ( A2 + B2 + C2 ) =1.

Введем так называемый нормирующий множитель µ = ±

1

,

A2 + B2 +C2

!

1. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду позволяет уз-

нать ее расположение относительно системы координат.

2. Введение нормирующего множителя соответствует замене произволь-

ного вектора нормали nG =

с

в уравнении плоскости единичным

{A, B,C}

JJG

n

Скачано

| n |

5.2.5. Расстояние от точки до плоскости

Отклонением δ т чки M1(x1, y1, z1)

от плоскости называется число, рав-

О

ное длине

перпендикуляра, пущенного из точки M1 на плоскость,

взятое со знаком «-», если точка M1 и начало координат находятся по

одну сторону от плоскости, и со знаком «+», если по разные стороны.

Пусть д на точка M1(x1, y1, z1) . Спроектируем точку M1 на нормаль к

плоскости nG.

Отклонение δ = PQ =OQ −OP.

JJJJJG

JJJG

OQ =прnGOM1

,

OP

= p,

JJJJJG

JJJJJG

δ =прnGOM1 − p,

= x cosα + y cos β + z cos

γ ,

прGOM

1

n

1

1

1

60

Лекция 5

ru

ординаты точки.

Если

плоскость задана

общим

уравнением, то

отклонение

точки

M1(x1, y1, z1) от плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле

δ = Ax1 + By1 +Cz1 + D .

.

±

A2 + B2 +C2

Расстояние от точки M1(x1, y1, z1)

до плоскости:

d =

δ

=

Ax1 + By1 + Cz1 + D

.

Пример:

A2

+ B2

+ C 2

Найти расстояние от точки M (4,3,1)

до плоскости 3x − 4 y +12z +14 = 0 .

µ =

−1

= −

1

;

antigtu

+ 42 +

122

32

13

1

−13 (3x −4 y +12z +14) = 0,

δ = −

1

(3 4 −4 3 +12 1+14) = −2 → d = 2.

13

с

5.2.6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Пусть даны три точки M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2 , z2 ),

M3(x3, y3, z 3). M( x,y,z ) - текущая точка плоскости.

Рассмотрим три вектора:

JJJJJG

M1M ={x − x1, y − y1, z − z1} ,

JJJJJJJG

={x2

− x1 ,y2 − y1 ,z2

− z1} ,

M1M 2

JJJJJJJG

={x3

− x1 ,y3 − y1 ,z3

− z1}.

M1M3

Точ а M (x, y, z)

лежит в плоскости M M

2

M

3

в том и только в том случае, ес-

1

JJJJJG

ли эти векторы компланарны. Условие компланарности трех векторов

M M ,

JJJJJJJG

JJJJJJJG

1

M1M 2 и

M1M3

определяет плоскость, проходящую через три данные точки:

Скачано

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

61

JJJJJJG

JJJJJJJG

JJJJJJJG

ru

M1M

M1M 2

M1M3

= 0 .

.

x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0.

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

5.2.7. Угол между двумя плоскостями

Пусть плоскости P1 и P2

заданы уравнениями:

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0,

A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.

antigtu

Угол между плоскостями определяется как угол между их нормальными век-

торами

nG

={A , B ,C },nG ={A , B ,C }.

1

1

1

1

2

2

2

2

JG

JJG

(n1, n2 )

A A

+ B B

+C C

2

cosϕ =

JG

JJG

=

1

2

1

2

1

.

|

n1 || n2 |

A2

+ B2

+C2

A2

+ B2

+C2

1

1

1

2

2

2

Пример:

Найти угол между пло ко тями x − y −

2z − 6 = 0,

y = 0.

Нормальные векторы пло ко тей

nG

={1,−1,−

2} , n

2

= {0,1,0} .

1

1 0 −1 1− 2 0

cosϕ =

с

=

−

1

→ϕ = 60°.

12 +12 + 2 2 02 +12 + 02

2

5.2.8. Условие параллель ости и перпендикулярности

плоскостей

nG

Плоскости

P1

и

P2

параллельны,

если их

нормальные

векторы

={A , B ,C } и

nG

={A , B ,C }

коллинеарны,

то есть их координаты про-

1

1

1

1

2

2

2

2

порциональны:

A1

=

B1

= C1 .

A

B

C

2

2

2

Плоскости P1 и P2 перпендикулярны, если их нормальные векторы

перпенди улярны,

(n nG ) = 0, следовательно, A A + B B +C C = 0 .

1

2

1

2

1

2

1

2

Скачано

62

ru

Лекция 5

5.3. Прямая линия в пространстве

.

5.3.1. Векторное уравнение прямой

Рассмотрим некоторую прямую

L в простран-

M0

antigtu

стве. Пусть

–

фиксированная

точка

L

( M0 (x0 , y0 , z0 ) L ).

M

–

произвольная

точка

L

( M (x, y, z ) L ), a ={l,m, n}

–

направляющий век-

тор прямой (любой вектор, лежащий на прямой ли-

бо параллельный ей). Точка M принадлежит пря-

мой L тогда и только тогда, когда

JJJJJG

G

и эти

M0M

& a

векторы пропорциональны:

JJJJJJG

aG.

M

M = t

JJJJJJG

G

G

, где r

0

G

- радиус–векторы точек M и M

, то для

Так как M

0

M

= r − r

, r

0

M

M0

M

M0

= rG

произвольной точки на прямой имеем:

r

+t aG – векторное уравнение

M

M0

В координатном виде векторное уравнение прямой распадается на три:

x = x0 +l t,

= y0 + m t,

y

z = z0 + n t

-

параметрические уравнения прямой.

с

5.3.3. Канонические уравнения прямой

Исключая параметр t, получим

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

- канонические

l

m

n

уравнения прямой, проходящей через фиксированную точку M0 (x0 , y0 , z0 ) и

имеющей н пр вляющий вектор a ={l,m,n}.

5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки M1(x1, y1, z1)

и M2 (x2 , y2 , z2 ) .

В

к честве н правляющего

вектора

прямой

выберем вектор

JJJJJJG

M1M 2 ={x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}, и уравнение прямой примет вид:

Скачано

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

x

− x

y

2

− y

z

2

− z

2

1

1

1