Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

Рекомендуемая литература

1.Доугерти К. Введение в эконометрику. ÑМ.: ÇИнфра-МÈ, 1997. (Гл. 10).

2.Драймз Ф. Распределенные лаги.Проблемы выбора и оценивания модели. ÑМ.: ÇФинансы и статистикаÈ, 1982.

3.Магнус Я.Р.,Катышев П.К.,Пересецкий А.А. ЭконометрикаÑначальный курс. ÑМ.: ÇДелоÈ, 2004. (Гл. 12).

4.Маленво Э. Статистическиеметоды эконометрии.Вып.2. ÑМ.:ÇСтатисти-

каÈ, 1976. (Гл. 15).

5.Песаран М.,Слейтер Л. Динамическая регрессия:теория и алгоритмы. Ñ М: ÇФинансы и статистикаÈ, 1984. (Гл. 5,стр. 67Ð91).

6.Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition. Ñ Springer, 1999. (Ch. 6).

7.Enders W. Applied Econometric Time Series. Ñ New York: John Wiley & Sons, 1992.

8.Greene W.H. Econometric Analysis. Ñ Prentice-Hall, 2000. (гл.17)

9.Judge G.G., Griffiths W.E., Hill R.C., Luthepohl H., Lee T. Theory and Practice of Econometrics. Ñ New York: John Wiley & Sons, 1985. (Ch. 9, 10).

16.1.МодельARCH

Модель ARCH,т.е.модель с авторегрессионной условной гетероскедастично-

стью(autoregressive conditional heteroskedasticity),предложена Р.Энглом в1982г.

для моделирования кластеризации волатильности.Процесс ARCH q-го порядка, {εt }+t=∞−∞,задается следующими соотношениями:

дисперсию часто называют волатильностью процесса.Для того чтобы условная дисперсия оставалась положительной,требуется выполнение соотношений ω > 0

и γ1, . . . ,γ q " 0.

Данный процесс можно записать несколько иначе:

ξt NID(0, 1),

εt = ξtσt ,

Аббревиатура NID означает,что ξt нормально распределены и независимы.Такая записьудобнатем,чтонормированныйслучайныйпроцесс ξt независитотпредыстории.

Смысл модели ARCH состоит в том,что если абсолютная величина εt оказывается большой,то это приводит кповышению условной дисперсии в последующие

периоды.В свою очередь,при высокой условной дисперсии более вероятно появление больших(по абсолютной величине)значений εt .Наоборот,если значения εt в течение нескольких периодов близки к0,то это приводит к понижению условной дисперсии в последующие периоды практически до уровня ω.В свою очередь, при низкой условной дисперсии более вероятно появление малых(по абсолютной величине)значений εt .Таким образом, ARCH-процесс характеризуется инерционностью условной дисперсии(кластеризацией волатильности).

Несложно показать,что процесс ARCH не автокоррелирован:

E(εt εt−j ) = E (E(εt εt−j |Ωt−1)) = E (εt−j E(εt |Ωt−1)) = 0.

Поскольку процесс имеет постоянное(нулевое)математическое ожидание и не автокоррелирован,то он является слабо стационарным в случае,если у него есть дисперсия.

Если обозначить разницу между величиной ε2t и ее условным математическим ожиданием, σt2,через ηt ,то получится следующая эквивалентная запись процесса

ARCH:

Поскольку условное математическое ожидание ηt равно0,то безусловное математическоеожиданиетакжеравно0.Крометого,какможнопоказать, {ηt } неавтокоррелирован.Следовательно,квадратыпроцесса ARCH(q) следуютавторегрессионному процессу q-го порядка.

Если все корни характеристического уравнения

1 − γ1z − . . . − γq zq = 0

лежатзапределамиединичногокруга,тоупроцесса ARCH(q) существуетбезусловная дисперсия,и он является слабо стационарным.Поскольку коэффициенты γj неотрицательны,то это условие эквивалентно условию %qj =1 γj < 1.

Действительно,вычислим безусл овную дисперсию стационарного ARCHпроцесса,которую мы обозначим через σ2.Для этого возьмем математическое ожидание от обеих частей уравнения условной дисперсии(16.1):

ожидание условной дисперсииравно безусловной дисперсии.Следова-

тельно,

σ2 = ω + γ1σ2 + . . . + γq σ2,

или

σ2 = ω .

1 − γ1 − . . . − γq

Таким образом,для всех εt безусловная дисперсия одинакова,т.е.имеет место гомоскедастичность.Однако условная дисперсия меняется,поэтому одновременно имеет место условная гетероскедастичность2.

Если не все корни приведенного выше характеристического уравнения лежат

существует,и поэтому ARCH-процесс не будет слабо стационарным .

Еще одно свойство ARCH-процессов состоит в том,что безусловное распределение εt имеет более высокий куртозис(т.е.более толстые хвосты и острую вершину),чем нормальное распределен ие(определение куртозиса и эксцесса см.в ПриложенииA.3.1).У ARCH(1) эксцесс равен

2Она называется авторегрессионной,поскольку динамика квадратов ARCH-процесса описывается авторегрессией.

3При этом у ARCH-процессов есть интересная особенность:они могут быть строго стационарны, не будучи слабо стационарны.Дело в том,что определение слабой стационарности требует существования конечных первых и вторых моментов ряда.Строгая же стационарность этого не требует, поэтому даже если условная дисперсия бесконечна(и,следовательно,ряд не является слабо стационарным),ряд все же может быть строго стационарным.

причем при 3γ12 " 1 четвертый момент распределения не существует(эксцесс равен бесконечности).Это свойство ARCH-процессов хорошо соответствует финансовым временным рядам,которые обычно характеризуются толстыми хвостами.На рисунке16.2изображен график плотности безусловного распределения ARCH(1).Для сравнения на графике приведена плотность нормального распределения с той же дисперсией.

Получить состоятельные оценки коэффициентов ARCH-процесса можно, используя вышеприведенное представление его квадратов в виде авторегрессии(16.2).Более эффективные оценки получаются при использовании метода максимального правдоподобия.

При применении ARCH-моделей к реальным данным было замечено,что модель ARCH(1) не дает достаточно длительных кластеров волатильности,а только порождаетбольшоечисловыбросов(выделяющихсянаблюдений).Длякорректного описания данных требуется довольно большая длина лага q,что создает трудностиприоценивании.Вчастности,зачастуюнарушаетсяусловиенеотрицательности оценок коэффициентов γj .Поэтому Энгл предложил использовать модель со следующими ограничениями на коэффициенты лага:они задаются с помощью весов вида:

q + 1 − j wj = 0.5q(q + 1) ,

сумма которых равна 1 и которые линейно убывают до нуля.Сами коэффициенты берутся равными γj = γwj .Получается модель с двумя параметрами, ω и γ :

16.2.МодельGARCH

Модель GARCH (generalized ARCH Ñобобщенная модель ARCH),предложенная Т.Боллерслевом ,является альтернативной модификацией модели ARCH (16.2),позволяющей получить более длинные кластеры при малом числе параметров.Модель ARMA зачастую позволяет получить более сжатое описание временных зависимостей для условного математического ожидания,чем модель AR. Подобным же образом модель GARCH дает возможность обойтись меньшим количеством параметров по сравнению с моделью ARCH,если речь идет об условной дисперсии.В дальнейшеммы проведем прямуюаналогию между моделями GARCH

и ARMA.

Для того чтобы вывести модель GARCH,используем в модели ARCH бесконечный геометрический лаг:

Применяя преобразование Койка,получим

σ2 = (1 − δ)ω + δσ2− + γε2− .

t t 1 t 1

Поменяв очевидным образом обозначения,получим модель GARCH(1, 1):

Модель GARCH(p, q) обобщает эту формулу:

GARCH(1, 2) или GARCH(2, 1).

Как и в модели ARCH, σt2 служит условной дисперсией процесса:

εt |Ωt N (0, σt2).

Рассчитаем безусловную дисперсию GARCH-процесса,предполагая,что он стационарен.Для этого возьмем математические ожидания от обеих частей уравнения 16.3для условной дисперсии:

Таким образом,с точки зрения безусловной дисперсии GARCH-процесс гомоскедастичен.

Для того чтобы дисперсия была конечной,необходимо выполнение условия

где m = max(p, q). (В этой записи подразумевается δj = 0 при j > p и γj = 0 при j > q.)Такаяформазаписипозволяетувидеть,чтоквадраты GARCH-процесса подчиняются модели ARMA(m, p).

Этотфактдаетвозможностьполучитьавтокорреляционнуюфункциюквадратов GARCH-процесса.В частности,для GARCH(1, 1) автокорреляционная функция квадратов имеет вид

ρτ = (δ1 + γ1)τ −1ρτ −1,τ> 1.

Условие существования безусловного четвертого момента у отдельного наблюдения процесса GARCH(1, 1) состоит в том,что 3γ12 + 2γ1δ1 + δ12 < 1.Если это условие выполняется,то эксцесс равен

и является положительным.То есть GARCH-процесс(как и его частный случайÑ ARCH-процесс)имеет более высокий кур тозис,чем нормальное распределение.Втожевремя,безусловноераспределениеотдельногонаблюдения GARCHпроцесса является симметричным,поэтому все нечетные моменты,начиная с третьего,равны нулю.

Стандартным методом оценивания для моделей GARCH является метод максимального правдоподобия.Условно по предыстории Ωt−1 отдельное наблюдение GARCH-процесса распределено нормально: εt |Ωt−1 N (0, σt2).Функция правдоподобия для ряда ε1, . . . ,ε T ,подчиняющегося GARCH-процессу,вычисляется как произведение плотностей этих условных нормальных распределений:

Максимизируя эту функцию правдоподобия по неизвестным параметрам,получим оценки максимального правдоподобия для GARCH-процесса.

При оценивании условную дисперсию σt2 следует считать функцией параметров модели и вычислять по рекуррентной формуле16.3.Для этих вычислений требуютсяÇдовыборочныеÈзначения самого процесса и его условной дисперсии, а они неизвестны.Для решения этой проблемы можно использовать различные приемы.Самый простой,по-видимому,состоит в том,чтобы заменить условные дисперсии в начале ряда( t = 1, . . . , m)оценкой безусловной дисперсии,т.е.величиной

s2 = 1 !T ε2.

T t=1 t

Оценки максимального правдоподобия являются состоятельными и асимптотически эффективными.

На практике модель GARCH дополняют какой-либо моделью,описывающей поведение условного или безусловного математического ожидания наблюдаемого ряда.Например,можно предположить,что наблюдается не εt , а εt плюс константа,т.е.что наблюдаемый ряд {xt } имеет постоянное безусловное математическое ожидание β,к которому добавляется ошибка εt в виде процесса

GARCH:

xt = β + εt .

Можно моделировать безусловное математическое ожидание с помощью линейной регрессии,т.е.

xt = Zt α + εt .

Это позволяет учитывать линейный тренд,детерминированные сезонные переменные и т.п.При оценивании в функции правдоподобия вместо εt используют xt − Ztα.

С точки зрения прогнозирования перспективной является модель,сочетающая ARIMA с GARCH.Модель ARIMA в этом случае используется для моделирования поведения условного математического ожидания ряда,а GARCH Ñдля моделирования условной дисперсии.

Важнейший вывод,который следует из анализа модели ARCH,состоит в том, что наблюдаемые изменения в дисперсии(волатильности)временного ряда могут иметь эндогенный характер,то есть порождаться определенной нелинейной моделью,а не какими-то внешними структурными сдвигами.

16.3.Прогнозы и доверительные интервалы для моделиGARCH

Одна из важнейших целей эконометрических моделей временных рядовÑ построение прогнозов.Какие преимущества дают модели с авторегрессионной условнойгетероскедастичностьюсточкизренияпрогнозированиявременныхрядов по сравнению с моделями линейной регрессии или авторегрессииÑскользящего среднего?Оказывается,что прямых преимуществ нет,но есть ряд опосредованных преимуществ,которые в отдельных случаях могут иметь большое значение.

Рассмотрим модель линейной регрессии

xt = Ztα + εt , t = 1, . . . , T ,

вкоторой ошибка представляет собой GARCH-процесс.Поскольку ошибки не автокоррелированы и гомоскедастичны,то,как известно,оценки наименьших квадратов являются наилучшими в классе линейных по x несмещенных оценок.Однако наличие условной гетероскедастичности позволяет найти более эффективные (т.е.болееточные)оценкисрединелинейных исмещенных оценок.Действительно, метод максимального правдоподобия дает асимптотически эффективные оценки, более точные,чем оценки МНК.В ошибку прогноза вносит свой вклад,во-первых,

ошибка εT +1,а во-вторых,разницамежду оценк ами параметров и истинными значениями параметров.Использование более точных оценок позволяет уменьшить

внекоторой степени вторую составляющую ошибки прогноза.

Вобычных моделях временного ряда с неизменными условными дисперсиями(например, ARMA)неопределенность ошибки прогнозаÑэто возрастающая функция горизонта прогноза,которая(если не учитывать разницу между оценками параметров и истинными значениями параметров,отмеченную в предыдущем абзаце)не зависит от момента прогноза.Однако в присутствии ARCH-ошибокточ- ность прогноза будет нетривиально зависеть от текущей информации и,следовательно,от момента прогноза.Поэтому для корректного построения интервальных прогнозов требуется иметь оценки будущих условных дисперсий ошибки.

Кроме того,внекоторыхслучаяхполезноиметьпрогнозынетолько(условного) математического ожидания изучаемой переменной,но и ее(условной)дисперсии. Это важно,например,при принятии решений об инвестициях в финансовые активы.В этом случае дисперсию(волатиль ность)доходности естественно рассматривать как меру рискованности финансового актива.Таким образом,сами по себе прогнозы условной дисперсии могут иметь практическое применение.

Покажем,что доверительный инте рвал прогноза зависит от предыстории

ΩT = (xT , xT −1, . . . , x1, . . . ).