55. Лаплас теңдеуі үшін шеттік есептің қойылуы және шешімдердің жалғыздығы.

1-теорема. Дирихленің ішкі есебінің :

(1)

шешімі жалғыз.

Дәлелдеу. Керіжориық -есептің екі шешімі болсын, онда - айырмасы үшін (1) есептүрінде қойылады; ал бұл біртекті есеп максимум қағидасы бойынша.

2-теорема. Дирихленің сыртқы есебінің :

(2)

шешімі жалғыз.

Дәлелдеу. x=0 нүктеаймақ ішінде жатсын. Инверсиялық түрлендіру бойынша

x=

алмастыру нәтижесінде шекарасы болған шексіз сыртқы аймақты шекарасы болған аймаққа келтіріледі де сыртқы (2) есеп Кельвин түрлендіруі бойынша

түрге келтіріп аймақтағы функция үшін Дирихленің мынандай ішкі есебіне келеміз:

ал бұл есептің 1-теорема бойынша жалғыз шешімі бар.

56. Шар және шеңбер үшін Пуассон формулалары.

Шеңбер үшін қайнар функциясы сфера үшін қайнар функциясы сияқты алынады. Бұл жағдайда оны мына түрде іздейміз:

G=(1)

(тихонов 347бет)

G функциясын табамыз:

G(P,)=(2)

Мұндағы шеңбердің радиусы

R. R осылайша анықталған

гармоникалық функция

мына шекарада нөлге айналады:

Бірінші шекаралық есептің шешімін табу үшінмәнін С аймағында (окружность) есептеу керек. есептеу сферадағыдай жүреді және келесіні береді:

- шеңберде жатқан Р нүктесінің полярлы координатасы, ал ()-нүктесінің координатасы, онда

Формулаға қойсақ:

u()=

бұл өрнекті үшін және келесіні ескерсек

және ds=Rd

u() функциясы үшін келесі өрнекке келеміз:

u()=(3)

ал мұны шеңбер үшін Пуассон интегралы деп атаймыз. Бұл тура ішкі есептің шешімін береді.

Шар аймақта Дирихле есебін Грин функциясы әдісімен шешу. Шардың центрі координата жүйесінің бас нүктесінде жатсын, ал

радиусы R болсын. Онда сфераның бетінің теңдеуі |x|=. Шардың ішкі х нүктесіне сәйкес, сфераның бетіне симметриялы Ох радиус векторының бойынан, олардың радиус вектторлары |x||x’|=болатындай x’ нүктені таңдаймыз. Белгілеулер r=|x-|,үшбұрыштар, себебіортақ, сәйкес қабырғаларыпропорционал болғандықтан, екі үшбұрыштың ұқсастығынаналамыз.

Екі жағын дәрежелесек, онда

(1)

Шар аймақ үшін бірінші шекаралық есептің Грин функциясы

Q(x,)=(2)

екеніне көз жеткізу қиын емес. Функция g(x,)=аргумент xжәне бойыншагармоникалық функция. Нүкте жатса, онда (2) теңдіктенСонымен Грин функциясының 1-2 шарттары орындалады. Сондықтан Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебінің шешімі келесі теңдктен

U(x)=

Формуламен анықталады.

Сфераға жүргізілген нормаль

радиуысына бағыттас болатынын

ескеріп, нормальді туынды

(4) теңдіктерді алуға болады. Үшбұрыштар косинустар теоремасы бойынша

(5)

(6)

Формулалар және (5)-(6) пайдаланып күрделі емес түрлендіруден кейін

U(x)=(7)

Пуассон формуласын аламыз.

(7) теңдік оң жағында интеграл Пуассон интегралы, өзегі

пуассон өзегі деп аталады.

57. Лаплас теңдеуі үшін Грин функция әдісі.

Шекарасы үзік жатық S болатын Ω аймақта анықталған функциялар .

Лаплас теңдеуі

шартын қанағаттандырады.

(1)

(1)-формуласы Лаплас операторы үшін Гриннің бірінші формуласы деп аталады.

(2)-Лаплас операторы үшін Гриннің 2-формуласы.

Грин функцияларының анықтамасын беру үшін алдымен класс функцияларының интегралдық өрнегі

(2)-формуладағы функциясының орнына екі аргументті гармоникалық функциясын қойып, теңдікті

түрінде жазып екі жағын ге көбейтіп (3) теңдікке қоссақ онда

Формуласын аламыз

Анықтама. Екі аргументті Лаплас теңдеуіне қойылған бірінінші шекаралық есебінің Грин функциясы дейді,егер

.Ω аймақта функция

Ω аймақтың шекарасында шарттар орындалса.

Грин функциясы нің қасиеттері

1. Ω аймақта Грин функциясы .

2. Грин функциясы ,

.