53. Біртекті және біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеулерге қойылған шекаралық есепті Фурье әдісімен шешу.

I. Мына - цилиндрде біртекті жылу өткізгіш

(1)

Теңдеудің бірінші текті шекаралық

u(0,t)=u(l,t)=0 (2)

шарттарды және

u(x,0)=(3)

бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (регулярлық) шешімін табу керек.

Есептің шешімі.

Есептің шешімін

u(x,t)=X(x)T(t)(4)

түрінде іздеп, оны (1)-теңдеуге қойсақ, нәтижеде

T’(t)+(5)

X’’(x)+(6)

Екінші ретті бір біріне тәуелсіз екі біртекті жай дифференциалдық теңдеулер аламыз.

Ал (4) шешімді есептің (2) шекаралық шарттарын қойып, (6) теңдеуді шешу үшін

X(0)=X(l)=0 (7)

Біртекті шекаралық шарттар аламыз. (6)-(7) Штурм Лиувиль есебі, ал оның меншікті сандары мен меншікті функциялары:

(8)

Бұл меншікті сандарды (5) теңдеулерге қойып, ол теңдеудің

(9)

Шешімдерін анықтаймыз.

Олай болса (1)-(3) есеп формальді шешімі

(10)

түрінде болады, мұндағы белгісіз еркін коэффициенттер; оларды есептегі (3)бастапқы шарт орындалатындай таңдаймыз, яғни (10) шешімді (3) шартқа қойып

Өрнегін аламыз. Егер бұл өрнекті функциясының синус функция бойынша Фурье қатарына жіктелгені деп қабылдасақ, онда

(11)

Фурье коэффициенті ретінде анықталады. Міне осы (11)коэффициент мәнін (20) өрнекке қойып (1)-(3) есептің тұрпаттама шешімін

(12)

Аламыз, мұндағы

G(x,)=(13)

II. Біртексіз есеп.-цилиндрлік аймақта

(14)

шекаралық және

(15)

Бастапқы шарттарды қанағаттандыратын шешімін табу керрек.

Есептің шешімін

u(x,t)=v(x,t)+(16)

түрінде іздейміз; мұндағы функциянышарттарды қанағаттандыратындай таңдап аламыз, алv(x,t)- жаңа белгісіз функция

(17)

V(0,t)=v(l,t)=0 (18)

V(x,0)=(19)

Есептің шешімі.

Бұл (17)-(19) есептің шешімін түрінде қарастырамыз, мұндағы(x,t)- жоғарыдағы (1)-(3) есептің шешімі:

(20)

Ал функция мына

(21)

Есептің шешімі. (21) есеп шешімін

(22)

Түрінде іздейміз; ал (21) есептегі белгілі f(x,t) функцияны да бойынша қатарға жіктеп:

f(x,t)= (23)

қатарды және (22) өрнектерді (21) есепке қойып, ондағы белгісіз функцияларды анықтайтын

(24)

Коши есебіне келеміз. Бұл жердегі (22)-(23) қатарлардағы функциялар (1)-(3) есептегі Штурм Лиувиль есебінің меншікті функциялары.Ал (24)- Коши есебінің шешімі

, k=1,2,… (25)

Бұл (25) шешімді (22) –өрнекке қойып (21) есептің шешімін, ал оны (20) шешімге қосып біртексіз (14)-(16) есеп шешімін аламыз:

(26)

Мұндағы

Ал

.

54. Гармоникалық функциялардың қасиеттері.

Анықтама. Шектелген аймақта функция U(x)және Лаплас теңдеуі шешімі болса, онда U(x) гармониялық функция деп аталады.

Анықтама. Шектелмеген аймақта функция U(x)және Лаплас теңдеуі шешімі болса, және шексіздікте теңсіздік орындалса, онда U(x) гармоникалық функция деп аталады.

Гармоникалық функцияның қасиеттері:

1. Гармоникалық функцияны интегралдық бейнелеу.

Теорема. егер шекарасы үзік жатық S болатын аймақта қармоникалық функция U(x) берілсе және U(x), онда U(x) функция үшін

U(x)=(1)

U(p)=(2)

Орындалады.

2. Гармоникалық функцияны шексіз дифференциалдануы.теорема.Егерде аймақта анықталған U(x) гармоникалық функция болса, онда U(x).Дәлелдеуі. U(x) функциясы шектелген немесе шектелмеген аймақта гармоникалық функция болсын.аймаққа іштей кез келген шекарасы үзік жазықтықболатынаймағын алайық.аймағы үшін (1),(2) интегралдық теңдіктерді жазуға болады.

U(x)=(3)

Егерде аймақты іштей шекарасы қашықтығыболатынаймағын алсақ, ондаүшінқашықтық

. Сондықтан функция . Параметрге тәуелді интегралды дифференциалдау туралы теоремасы негізінде (3) интегралдың теңдікпен анықталғанU(x)аймағы кез келген болғандықтанU(x)

3.Теорема. Егер U(x)гармоникалық функция болса, онда(2)4. теорема. (орта мән туралы теорема) Егер аймақтаU(x) гармоникалық функция болса, онда үшін

U()=(3) Орындалады. Мұндацентрі, радиусыR сфераның беті, шар теңдік (3)- орта мән туралы теорема деп аталады. 5. (Экстремум қағидасы) Теорема. Егер тұрақты емес гармоникалық функцияU(x), ондаU(x) функция өзінің max(min) мәндерін тек қана аймақтың шекарасыS қабылдайды.