Geom / AnGeom_2_14
.pdf
Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты
Ортогональные инварианты поверхностей
Доказательство.
Φ(λ) = det(A |
|
|
λE) = |
a12 |
a22 |
λ |
|
a23 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
− λ |
a12 |
|
a13 |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a |
|
a − |
a |
|
|
λ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
|
|
− |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
b3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
23 |
|
33 |
|
|
|
= λ |
4 |
+ α3 |
λ |
3 |
+ α2λ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ α1λ + α0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α0 = , α1 = −(δ + S3), α2 = S + S2.
|
b2 |
|
= |
|
|
b1 |
|
|
|
|
b |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
− |
λ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Так как Φ(λ) является ортогональным полуинвариантом, то все его коэффициенты также являются ортогональными полуинвариантами. В связи с тем, что δ и S ортогональные инварианты, то S3, S2 и ортогональные полуинварианты.
Аналитическая геометрия. Лекция 29
Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты
Ортогональные инварианты поверхностей
Лемма об определителе расширенной матрицы.
Определитель является ортогональным инвариантом поверхности второго порядка.
Доказательство аналогично доказательству соответствующей лемме для кривых.
Аналитическая геометрия. Лекция 29
Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты
Теорема о распознавании поверхностей при помощи инвариантов.
Пусть поверхность второго порядка в некоторой декартовой системе координат имеет уравнение ( ). Тогда при
δ2 + 2 6= 0
|
|
|
|
|
|
< 0 |
эллипсоид |
|
|
|||
|
|
S > 0 и T r(A)δ > 0 |
|
> 0 |
мнимый эллипсоид |
|
|
|||||
δ 6= 0 |
|
|
|
|
= 0 |
точка |
|
|
||||
|
|
|
|
|
< 0 |
двуп.гиперболоид |
|
|
|
|||
|
|
S ≤ 0 или T r(A)δ ≤ 0 |
|
> 0 |
одноп.гиперболоид |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= 0 |
конус |
|
|
|
|||
δ = 0 |
|
> 0 |
гиперболический параболоид |
|
|
|
||||||
< 0 |
эллиптический параболоид |
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 29
Центральные поверхности второго порядка Ортогональные инварианты и полуинварианты
При δ = |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
S > 0 и T r(A)S3 < 0 |
эллиптический цилиндр |
||
|
S > 0 и T r(A)S3 > 0 |
мнимый эллиптический цилиндр |
||
|
S > 0 и S3 = 0 |
пара мнимых пересек. плоскостей |
||
|
S < 0 и S3 6= 0 |
гиперболический цилиндр |
||
|
S < 0 и S3 = 0 |
пара пересек.плоскостей |
||
|
S = 0 и S3 6= 0 |
параболический цилиндр |
||
|
S = 0, S3 |
= 0 и S2 |
< 0 |
пара парал.плоскостей |
|
S = 0, S3 |
= 0 и S2 |
> 0 |
пара мнимых парал.плоскостей |
|
S = 0, S3 |
= 0 и S2 |
= 0 |
пара совпадающ.плоскостей |
Аналитическая геометрия. Лекция 29