Geom / AnGeom_15
.pdf
Директориальное свойство |
Директориальное свойство эллипса |
Оптическое свойство |
Директориальное свойство гиперболы |
Директориальное свойство гиперболы
Теорема (директориальное свойство гиперболы).
Пусть r равно расстоянию от произвольной точки M гиперболы до фокуса Fi, d расстоянию от M до соответствующей фокусу Fi директрисы. Тогда отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету ε гиперболы.
r
d
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство |
Директориальное свойство эллипса |
Оптическое свойство |
Директориальное свойство гиперболы |
Директориальное свойство гиперболы
Доказательство.
Рассмотрим директрису l2 : x = aε , соответствующую фокусу
F2 |
(c, 0). Пусть точка M(x, y) принадлежит гиперболе |
|||
x2 |
y2 |
|||
|
|
− |
|
= 1. Тогда |
|
a2 |
b2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
= s(x − c)2 |
x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r = MF2 = q(x − c)2 + y2 |
+ |
|
− 1 b2 = |
|||||||||
a2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= s 1 + |
|
|
|
|
|
= rx2 − 2cx + c2 |
|
b2 |
b2 |
x2 − 2cx + (c2 − b2) |
||||||||
+ |
|
x2 − b2 |
|
|||||||||
a2 |
a2 |
|||||||||||
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство |
Директориальное свойство эллипса |
Оптическое свойство |
Директориальное свойство гиперболы |
Директориальное свойство гиперболы
= r |
|
a2 x2 |
− 2cx + a2 |
|
= r |
xa − a |
= |xε − a|, |
|||||||||||
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
так как ε > 1 и x |
≥ |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
− |
a. |
|||||
|
a |
|
|
xε > a, то r2 |
= xε |
|
||||||||||||
Расстояние d2 от M до l2 равно x − ε . Тогда |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
= |
xε − a |
= ε. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
x − aε |
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично доказывается, что r1 = ε.
d1
Доказательство завершено.
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Оптическое свойство эллипса
Оптическое свойство
Оптическое свойство гиперболы Оптическое свойство параболы
Оптическое свойство эллипса
Теорема (оптическое свойство эллипса).
Луч света, выпущенный из источника, расположенного в фокусе, отразившись от зеркального эллипса, попадет в другой фокус.
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Оптическое свойство эллипса
Оптическое свойство
Оптическое свойство гиперболы Оптическое свойство параболы
Оптическое свойство гиперболы
Теорема (оптическое свойство гиперболы).
Луч света, выпущенный из источника, расположенного в фокусе, отразившись от зеркальной гиперболы, пойдет так, как если бы он был выпущен из другого фокуса.
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Оптическое свойство эллипса
Оптическое свойство
Оптическое свойство гиперболы Оптическое свойство параболы
Оптическое свойство параболы
Теорема (оптическое свойство параболы).
Луч света, выпущенный из источника, расположенного в фокусе, отразившись от зеркальной параболы, пойдет параллельно фокальной оси.
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Оптическое свойство эллипса
Оптическое свойство
Оптическое свойство гиперболы Оптическое свойство параболы
Оптическое свойство параболы
Доказательство.
Пусть луч света попадает в точку M(x0, y0) параболы. Проведем касательную к параболе в точке M. Требуется показать равенство углов.
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Оптическое свойство эллипса
Оптическое свойство
Оптическое свойство гиперболы Оптическое свойство параболы
Оптическое свойство параболы
Докажем, что треугольник AF M равнобедренный,
AF = F M.
F M = r |
x0 − 2 |
|
+ y02 |
= r |
x02 − px + 4 + 2px0 |
= |
|||||||||||||||
|
|
|
p |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
||||
= r |
|
|
|
|
= x0 |
+ 2 |
|
= x0 |
+ 2. |
|
|||||||||||
x0 + 2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Оптическое свойство эллипса
Оптическое свойство
Оптическое свойство гиперболы Оптическое свойство параболы
Оптическое свойство параболы
Найдем уравнение касательной к параболе y2 = 2px в точке M. Дифференцируя уравнение параболы, получим y0 = yp . Подставляем в уравнение касательной, имеем
p
y = y0 + y0 (x − x0),
yy0 = y02 + px − px0, yy0 = 2px20 + px − px0,
yy0 = p(x + x0).
Точка A пересечения касательной с осью Ox имеет координаты (−x0, 0). Тогда AF = x0 + p2 .
Аналитическая геометрия. Лекция 15
Директориальное свойство
Оптическое свойство эллипса
Оптическое свойство
Оптическое свойство гиперболы Оптическое свойство параболы
Оптическое свойство параболы
Таким образом,
p AF = F M = x0 + 2,
т. е. треугольник AF M равнобедренный иF AM = F MA. Что и требовалось доказать.
Аналитическая геометрия. Лекция 15