Geom / AnGeom_4
.pdf
Скалярное произведение векторов
Проекции Свойства скалярного произведения
Доказательство свойств скалярного произведения
~ |
~ |
~ |
2.1) ~a b ~c |
(~a + b, ~c) = (~a, ~c) + (b, ~c) |
|
~ |
~ |
|
(~a + b, ~c) = |~c|Пр~c(~a + b) = |
|
|
| | ~
= ~c (Пр~c(~a)+Пр~c(b)) =
| | | | ~
= ~c Пр~c(~a) + ~c Пр~c(b) =
~
= (~a, ~c) + (b, ~c).
Аналитическая геометрия. Лекция 4
Скалярное произведение векторов
Проекции Свойства скалярного произведения
Доказательство свойств скалярного произведения
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
2.2) ~a b α |
(α~a, b) = α(~a, b) |
|
|
|
||
Если α = 0, то свойство, очевидно, выполняется. |
|
|
||||
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
π, если |
Заметим, что ~a b = α~a b, если α > 0, и ~a b = α~a b |
− |
|||||
α < 0. |
c |
d |
c |
d |
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 4
Скалярное произведение векторов
Проекции Свойства скалярного произведения
Доказательство свойств скалярного произведения
|
|
~ |
α |
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
2.2) ~a b |
(α~a, b) = α(~a, b) |
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда, если α > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
~ |
~ |
||
(α~a, b) = |α~a||b| cos(α~a b) = |
α||~a||b| cos(~a b) = α(~a, b). |
||||||||||||
Если α < 0, (α~a, ~b) =dα~a ~b |
|cos(α~a ~b) =c |
|
|||||||||||
α |
~a |
b |
cos(~a b |
|
π) = |
| |
|| |
| |
|
|
|
. |
|
|
|
α (~a, b) =d |
~ |
|
|
||||||||
| |
|| |
~ |
~ |
− |
|
−| |
| |
~ |
|
|
|
|
|
|| | |
c |
|
|
α(~a, b) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналитическая геометрия. Лекция 4
Скалярное произведение векторов
Проекции Свойства скалярного произведения
Доказательство свойств скалярного произведения
|
|
~ |
α |
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
2.2) ~a b |
(α~a, b) = α(~a, b) |
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда, если α > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
~ |
~ |
||
(α~a, b) = |α~a||b| cos(α~a b) = |
α||~a||b| cos(~a b) = α(~a, b). |
||||||||||||
Если α < 0, (α~a, ~b) =dα~a ~b |
|cos(α~a ~b) =c |
|
|||||||||||
α |
~a |
b |
cos(~a b |
|
π) = |
| |
|| |
| |
|
|
|
. |
|
|
|
α (~a, b) =d |
~ |
|
|
||||||||
| |
|| |
~ |
~ |
− |
|
−| |
| |
~ |
|
|
|
|
|
|| | |
c |
|
|
α(~a, b) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналитическая геометрия. Лекция 4
Скалярное произведение векторов
Проекции Свойства скалярного произведения
Доказательство свойств скалярного произведения
3.1) ~a |
~ |
|
6= 0 (~a, ~a) > 0 |
~ |
|
3.2) ~a |
(~a, ~a) = 0 ~a = 0 |
|
Пусть 6 ~. Тогда,
~a = 0
| ||~| | |2 | |2
(~a, ~a) = ~a b cos(~ac~a) = ~a cos 0 = ~a > 0.
Если (~a, ~a) = 0, то (~a, ~a) = |~a|2 = 0. Следовательно
~
~a = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 4
Скалярное произведение векторов
Проекции Свойства скалярного произведения
Доказательство свойств скалярного произведения
3.1) ~a |
~ |
|
6= 0 (~a, ~a) > 0 |
~ |
|
3.2) ~a |
(~a, ~a) = 0 ~a = 0 |
|
Пусть 6 ~. Тогда,
~a = 0
| ||~| | |2 | |2
(~a, ~a) = ~a b cos(~ac~a) = ~a cos 0 = ~a > 0.
Если (~a, ~a) = 0, то (~a, ~a) = |~a|2 = 0. Следовательно
~
~a = 0.
Аналитическая геометрия. Лекция 4
Скалярное произведение векторов
Проекции Свойства скалярного произведения
Свойства скалярного произведения
~~
1.(~a, b + ~c) = (~a, b) + (~a, ~c)
~~
2.(~a, αb) = α(~a, b)
4. |
~a |~a| = |
p |
|
|
|
(~a, ~a) |
|||||
3. |
|
||||
|
Критерий ортогональности |
||||
|
~ |
~ |
|
||
|
~a b (~a, b) = 0 |
||||
Аналитическая геометрия. Лекция 4
Скалярное произведение векторов
Проекции Свойства скалярного произведения
Свойства скалярного произведения
~~
1.(~a, b + ~c) = (~a, b) + (~a, ~c)
~~
2.(~a, αb) = α(~a, b)
4. |
~a |~a| = |
p |
|
|
|
(~a, ~a) |
|||||
3. |
|
||||
|
Критерий ортогональности |
||||
|
~ |
~ |
|
||
|
~a b (~a, b) = 0 |
||||
Аналитическая геометрия. Лекция 4
Скалярное произведение векторов
Проекции Свойства скалярного произведения
Свойства скалярного произведения
~~
1.(~a, b + ~c) = (~a, b) + (~a, ~c)
~~
2.(~a, αb) = α(~a, b)
4. |
~a |~a| = |
p |
|
|
|
(~a, ~a) |
|||||
3. |
|
||||
|
Критерий ортогональности |
||||
|
~ |
~ |
|
||
|
~a b (~a, b) = 0 |
||||
Аналитическая геометрия. Лекция 4
Скалярное произведение векторов
Проекции Свойства скалярного произведения
Свойства скалярного произведения
~~
1.(~a, b + ~c) = (~a, b) + (~a, ~c)
~~
2.(~a, αb) = α(~a, b)
4. |
~a |~a| = |
p |
|
|
|
(~a, ~a) |
|||||
3. |
|
||||
|
Критерий ортогональности |
||||
|
~ |
~ |
|
||
|
~a b (~a, b) = 0 |
||||
Аналитическая геометрия. Лекция 4