Geom / AnGeom_5
.pdf
Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение
Свойства векторного произведения
Доказательство.
{~ }
3.~a, b, ~c правая тройка
Отложим векторы , ~, от начала координат. Повернем
~a b ~c
пространство так, чтобы вектор ~a был сонаправлен с ~e1.
Аналитическая геометрия. Лекция 5
Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение
Свойства векторного произведения
Доказательство.
Повернем пространство относительно оси O~e1 так, чтобы
вектор ~ лежал в плоскости 1 2, и кратчайший поворот от b ~e O~e
к ~ осуществлялся в том же направлении, что и от 1 к 2.
~a b ~e ~e
Аналитическая геометрия. Лекция 5
Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение
Свойства векторного произведения
Доказательство.
Тогда вектор ~c будет направлен вдоль вектора ~e3. Так как {~e1, ~e2, ~e3} правая тройка, то получили требуемое.
Аналитическая геометрия. Лекция 5
Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение
Свойства векторного произведения
Свойства векторного произведения
1. |
Кососимметричность |
|
|
|||
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
~a b [~a, b] = −[b, ~a] |
|||||
2. |
Линейность |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
1) ~a b ~c |
[~a + b, ~c] = [~a, ~c] + [b, ~c] |
||||
|
|
~ |
~ |
~ |
||
|
2) ~a b α |
[α~a, b] = α[~a, b] |
||||
3. |
Критерий коллинеарности |
|||||
|
~ |
~ |
~ |
|
~ |
|
|
~a b |
[~a, b] = 0 |
~akb |
|||
Аналитическая геометрия. Лекция 5
Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение
Свойства векторного произведения
Свойства векторного произведения
1. |
Кососимметричность |
|
|
|||
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
~a b [~a, b] = −[b, ~a] |
|||||
2. |
Линейность |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
1) ~a b ~c |
[~a + b, ~c] = [~a, ~c] + [b, ~c] |
||||
|
|
~ |
~ |
~ |
||
|
2) ~a b α |
[α~a, b] = α[~a, b] |
||||
3. |
Критерий коллинеарности |
|||||
|
~ |
~ |
~ |
|
~ |
|
|
~a b |
[~a, b] = 0 |
~akb |
|||
Аналитическая геометрия. Лекция 5
Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение
Свойства векторного произведения
Свойства векторного произведения
1. |
Кососимметричность |
|
|
|||
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
~a b [~a, b] = −[b, ~a] |
|||||
2. |
Линейность |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
1) ~a b ~c |
[~a + b, ~c] = [~a, ~c] + [b, ~c] |
||||
|
|
~ |
~ |
~ |
||
|
2) ~a b α |
[α~a, b] = α[~a, b] |
||||
3. |
Критерий коллинеарности |
|||||
|
~ |
~ |
~ |
|
~ |
|
|
~a b |
[~a, b] = 0 |
~akb |
|||
Аналитическая геометрия. Лекция 5
Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение
Свойства векторного произведения
Свойства векторного произведения
4. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ~a и
~ | ~ | b, равна S = [~a, b] .
Аналитическая геометрия. Лекция 5
Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение
Свойства векторного произведения
Доказательство свойств векторного произведения
|
~ |
~ |
~ |
1. ~a b |
[~a, b] = −[b, ~a] |
||
|
|
~ |
|
Пусть ~c = [~a, b]. Тогда |
|
||
1. |
~ |
|
|
−~c b и −~c ~a |
|
||
2. |
| − ~c| = |~c| = |~b||~a|| sin(~ac~b)| |
||
{~ }
3.Заметим, что, так как ~a, b, ~c правая тройка, то
{~ − }
b, ~a, ~c правая.
Аналитическая геометрия. Лекция 5
Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение
Свойства векторного произведения
Доказательство свойств векторного произведения
|
|
|
|
~ |
~c |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1) ~a b |
[~a + b, ~c] = [~a, ~c] + [b, ~c] |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
, z2}, ~c = {x3, y3, z3}. |
|
|
|
||||||
Пусть ~a = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда [~a + b, ~c] = |
2 |
, − |
|
1 x3 |
|
2 |
|
1 z3 |
2 |
, |
x1 x3 |
2 |
1 y3 |
2 |
|
|||||||||||
|
y |
1 y3 |
2 |
z |
1 z3 |
|
x |
|
z |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
y1 z1 |
|
, |
|
|
x1 z1 |
|
, |
x1 y1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y3 z3 |
− |
x3 |
|
z3 |
x3 y3 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
y2 z2 |
|
, |
|
|
x2 |
|
z2 |
|
x2 y2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y3 z3 |
|
− |
|
x3 |
|
z3 |
|
, |
|
x3 y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [~a, |
~c] + [~b, |
~c]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 5
Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение
Свойства векторного произведения
Доказательство свойств векторного произведения
|
|
|
|
~ |
~c |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1) ~a b |
[~a + b, ~c] = [~a, ~c] + [b, ~c] |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
, z2}, ~c = {x3, y3, z3}. |
|
|
|
||||||
Пусть ~a = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда [~a + b, ~c] = |
2 |
, − |
|
1 x3 |
|
2 |
|
1 z3 |
2 |
, |
x1 x3 |
2 |
1 y3 |
2 |
|
|||||||||||
|
y |
1 y3 |
2 |
z |
1 z3 |
|
x |
|
z |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
y1 z1 |
|
, |
|
|
x1 z1 |
|
, |
x1 y1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y3 z3 |
− |
x3 |
|
z3 |
x3 y3 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
y2 z2 |
|
, |
|
|
x2 |
|
z2 |
|
x2 y2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y3 z3 |
|
− |
|
x3 |
|
z3 |
|
, |
|
x3 y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [~a, |
~c] + [~b, |
~c]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия. Лекция 5