Geom / AnGeom_5

Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение

Свойства векторного произведения

Векторное произведение

Пусть ~e1 = {1, 0, 0}, ~e2 = {0, 1, 0}, ~e3 = {0, 0, 1}. Тогда [~e1, ~e2] = ~e3.

•~e3 ~e1 и ~e3 ~e2

•|~e3| = |~e1||~e2| sin π2 = 1

•{~e1, ~e2, ~e3} правая тройка

Аналитическая геометрия. Лекция 5

Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение

Свойства векторного произведения

Теорема о записи векторного произведения в координатах.

Пусть в прямоугольной системе координат векторы заданы

Аналитическая геометрия. Лекция 5

Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение

Свойства векторного произведения

Доказательство.

Проверим по определению. Обозначим через

1. ~c ~a

Действительно,

x1 y1 z1

= x1 y1 z1 = 0 ~c ~a

x2 y2 z2

Аналогично, ~.

~c b

Аналитическая геометрия. Лекция 5

Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение

Свойства векторного произведения

Доказательство.

| | | ||~|| ~ |

2. ~c = ~a b sin(~acb)

Обозначим через угол между векторами и ~.

ϕ ~a b

~ 2 sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ = 1 − (~a, b)

| |2|~|2

~a b

=(x21 + y12 + z12)(x22 + y22 + z22) − (x1x2 + y1y2 + z1z2)2 =

=(x21y22 − 2x1x2y1y2 + y12x22) + (x21z22 − 2x1x2z1z2 + z12x22)+ +(y12z22 − 2y1y2z1z2 + z12y22) =

=(x1y2 − y1x2)2 + (x1z2 − z1x2)2 + (y1z2 − z1y2)2

Аналитическая геометрия. Лекция 5

Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение

Свойства векторного произведения

Доказательство.

| | | ||~|| ~ |

2. ~c = ~a b sin(~acb)

Обозначим через угол между векторами и ~.

ϕ ~a b

~ 2 sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ = 1 − (~a, b)

| |2|~|2

~a b

=(x21 + y12 + z12)(x22 + y22 + z22) − (x1x2 + y1y2 + z1z2)2 =

=(x21y22 − 2x1x2y1y2 + y12x22) + (x21z22 − 2x1x2z1z2 + z12x22)+ +(y12z22 − 2y1y2z1z2 + z12y22) =

=(x1y2 − y1x2)2 + (x1z2 − z1x2)2 + (y1z2 − z1y2)2

Аналитическая геометрия. Лекция 5

Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение

Свойства векторного произведения

Доказательство.

| | | ||~|| ~ |

2. ~c = ~a b sin(~acb)

Обозначим через угол между векторами и ~.

ϕ ~a b

~ 2 sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ = 1 − (~a, b)

| |2|~|2

~a b

=(x21 + y12 + z12)(x22 + y22 + z22) − (x1x2 + y1y2 + z1z2)2 =

=(x21y22 − 2x1x2y1y2 + y12x22) + (x21z22 − 2x1x2z1z2 + z12x22)+ +(y12z22 − 2y1y2z1z2 + z12y22) =

=(x1y2 − y1x2)2 + (x1z2 − z1x2)2 + (y1z2 − z1y2)2

Аналитическая геометрия. Лекция 5

Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение

Свойства векторного произведения

Доказательство.

| | | ||~|| ~ |

2. ~c = ~a b sin(~acb)

Обозначим через угол между векторами и ~.

ϕ ~a b

~ 2 sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ = 1 − (~a, b)

| |2|~|2

~a b

=(x21 + y12 + z12)(x22 + y22 + z22) − (x1x2 + y1y2 + z1z2)2 =

=(x21y22 − 2x1x2y1y2 + y12x22) + (x21z22 − 2x1x2z1z2 + z12x22)+ +(y12z22 − 2y1y2z1z2 + z12y22) =

=(x1y2 − y1x2)2 + (x1z2 − z1x2)2 + (y1z2 − z1y2)2

Аналитическая геометрия. Лекция 5

Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение

Свойства векторного произведения

Доказательство.

| | | ||~|| ~ |

2. ~c = ~a b sin(~acb)

Обозначим через угол между векторами и ~.

ϕ ~a b

~ 2 sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ = 1 − (~a, b)

| |2|~|2

~a b

=(x21 + y12 + z12)(x22 + y22 + z22) − (x1x2 + y1y2 + z1z2)2 =

=(x21y22 − 2x1x2y1y2 + y12x22) + (x21z22 − 2x1x2z1z2 + z12x22)+ +(y12z22 − 2y1y2z1z2 + z12y22) =

=(x1y2 − y1x2)2 + (x1z2 − z1x2)2 + (y1z2 − z1y2)2

Аналитическая геометрия. Лекция 5

Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение

Свойства векторного произведения

Доказательство.

| | | ||~|| ~ |

2. ~c = ~a b sin(~acb)

Обозначим через угол между векторами и ~.

ϕ ~a b

~ 2 sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ = 1 − (~a, b)

| |2|~|2

~a b

=(x21 + y12 + z12)(x22 + y22 + z22) − (x1x2 + y1y2 + z1z2)2 =

=(x21y22 − 2x1x2y1y2 + y12x22) + (x21z22 − 2x1x2z1z2 + z12x22)+ +(y12z22 − 2y1y2z1z2 + z12y22) =

=(x1y2 − y1x2)2 + (x1z2 − z1x2)2 + (y1z2 − z1y2)2

Аналитическая геометрия. Лекция 5

Правая тройка векторов Векторное произведение векторов Векторное произведение

Свойства векторного произведения

Доказательство.

| | | ||~|| |

~c = ~a b sin ϕ

Аналитическая геометрия. Лекция 5